Prufer数列 | 易学教程

Prufer数列是无根树的一种数列。构造简单，具有很优秀的性质。Prufer数列是生成树计数的一个巧妙工具。

一棵n个有编号节点的无根树对应唯一的一串长度为n-2的Prufer数列。而我们可以用迭代删点的方式生成Prufer数列。

定义无向连通图\(G=(V,E)\)，\(|V|=|E|+1\)。我们定义叶子节点为度数为1的节点。然后按以下步骤：

比如上图

结束，得到数列[2,2,3,1,1]。

一串长度为n-2的Prufer数列对应唯一的一棵n个有编号节点的无根树。

取出Prufer数列最前面的元素\(u\)，删除\(u\)。
在点集\(V\)中找到最小的没有在Prufer数列中出现的元素\(v\)。节点\(v\in V\)，连接边\((u,v)\). 在\(V\)中删除\((u,v)\)。
如果\(|V|=2\)则将剩余的两个点连边后停止，否则重复1,2。

举例省略。

Prufer数列具有许多优秀的性质。

Prufer数列中某个编号出现的次数+1等于该编号节点在无根树中的度数。因为某个编号\(p\)出现一次，就代表有一个连向\(p\)的点。而且必然还存在一个连向\(p\)的点，来让\(p\)从点集中消失。
唯一性。一个Prufer数列和一棵无根树是互相唯一对应的。
Caylay公式：对于一张完全图\(G=(V,E)\)，\(|V|=n\)。则该图生成树个数为\(n^{n-2}\)。完全图中，每个点的度数均为n-1。则Prufer数列中一个点出现次数至多为n-2。又由于该Prufer数列长度为n-2，所以每一个位置都有n种可能。所以该图生成树个数为\(n^{n-2}\)。

对于未给定的无向连通图\(G=(V,E)\)，已知\(|V|\)，且\(|V|=|E|+1\)，节点两两不同（看做有编号）。已知节点\(u\in V\)的度\(deg_u\)。求满足条件的\(G\)有多少种。

解答：显然无向图\(G\)是一棵树。既然已知点度，我们可以想到性质1.

因为节点\(u\in V\)的度为\(deg_u\)，则\(u\)在\(G\)所对应的Prufer数列中出现的次数为\(deg_u-1\)。

那么问题转化为，对于数集\(A={1,2,3,...,n}\)，定义\(f(x)\)为对\(x\in\)在数列中出现次数。求数列B的方案数，满足\(\forall x\in B,f(x)=deg_x\)。

方案数为\(C_{n-2}^{deg_1-1}\times C_{n-2-(deg_1-1)}^{deg_2-1}\times ...\times C_{n-2-(deg_1-1+deg_2-1+...+deg_{n-1}-1)}^{deg_n-1}\)

即

\[\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}(deg_{i}-1)!} \]

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣......给出标号为1到n的点\((n\le 1000)\),以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树？

解答：我们将点分成两部分：有规定度数的点和未规定度数的点。然后两部分分别构造生成树。

令有规定度数的点有\(k\)个，将有规定度数的点做完后无根树对应的Prufer数列剩余位置为\(l\)。则\(l=n-2-\sum_{i=1}^{k}(deg_i-1)\)

有规定度数的部分同2.1，即

\[C_{n-2}^{deg_1-1}\times C_{n-2-(deg_1-1)}^{deg_2-1}\times ...\times C_{n-2-(deg_1-1+deg_2-1+...+deg_{k-1}-1)}^{deg_k-1} \]

未规定度数的点当成完全图求生成树处理，即

\[(n-k)^l \]

二者相乘，得

\[\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}{(deg_{i}-1)!}\times l!}\times(n-k)^l \]

来源：https://www.cnblogs.com/sleepiest/p/Prufer.html

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