平衡二叉树（AVL树）

我们先看看二叉排序树可能的问题：
一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在
在这里插入图片描述
上面这颗二叉排序树(BST) 存在的问题分析:

左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
插入速度没有影响
查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
解决方案-平衡二叉树(AVL)

平衡二叉树基本介绍

平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树，可以保证查询效率较高。
具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

如下图所示，前2个是AVL树，因为其左右2颗子树高度差不超过一，第三个图不是AVL树，因为其左边树比右边树的高度超过了一
在这里插入图片描述

左旋卷，右旋转和双旋转

那么怎么样让一个数列，创建出对应的平衡二叉排序树呢？
左旋转如图：
在这里插入图片描述
当根节点的（右子树高度 - 左子树高度 > 1）时我们需要进行左旋转
左旋转步骤：
1. 创建一个新的节点newNode,让其值等于等于当前根节点的值
2. 把新节点的左子树设置成当前节点的左子树即newNode.left = left
3. 把新的节点的右子树设置成当前节点右子树的左子树即newNode.right = right.left
4. 把当前节点的值换为右子节点的值即value = right.value
5. 把当前节点的右子树设置成右子树的右子树right = right.right
6. 把当前节点的左子树设置成新的节点left = newNode

右旋转如图：
在这里插入图片描述
当根节点的（左子树高度 - 右子树高度 > 1）时我们需要进行右旋转
右旋转步骤：

创建一个新的节点 newNode 让其值等于当前根节点的值
把新节点的右子树设置了当前节点的右子树newNode.right = right
把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树newNode.left =left.right
把当前节点的值换为左子节点的值value=left.value
把当前节点的左子树设置成左子树的左子树 left=left.left
把当前节点的右子树设置为新节点 right=newLeft

双旋转
前面2个数列进行一次单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。
如图所示：
在这里插入图片描述
如上图，数列符合右旋转的条件，但是右旋转后并没有变成AVL树，这时候我们就需要进行双旋转

什么情况下进行双旋转呢？

当右旋转或者左旋转的时候，我们就需要考虑双旋转的问题，
当满足右旋转的条件的时候，我们还需要判断（当前节点的左节点的左子树的高度 < 当前节点的左节点的右子树的高度）即left.leftHeight() < left.rightHeight()的时候，我们需要进行双旋转即先对其左子树进行左旋转在对当前节点进行右旋转
当满足左旋转的条件的时候，我们还需要判断（当前节点的右节点的右子树的高度 < 当前节点的右节点的左子树的高度）即right.rightHeight()<right.leftHeight()的时候，我们需要进行双旋转即先对其右子树进行右旋转在对当前节点进行左旋转

代码示例：

节点类（主要是add和左右旋转方法，包括方法中的旋转）

public class Node {
    private int data;
    public Node left;
    public Node right;

    /**
     * 根据值查找要找的节点
     * @param value 要查找的值
     * @return 返回找到的节点
     */
    public Node search(int value) {
        // 如果当前节点就是要查找的值，就直接返回
        if (this.data == value) {
            return this;
        }
        // 查找的值小于当前节点,
        if (value < this.data) {
            // 如果当前节点的左子节点不为空，则递归
            if (this.left != null) {
                return this.left.search(value);
            } else {
                // 当前节点的左子节点为空，说明没有找到，直接返回null
                return null;
            }
        } else {
            // 走进这个分支，说明要查找的值大于当前节点的值
            // 如果当前节点的右子节点不为空，则递归
            if (this.right != null) {
                return this.right.search(value);
            } else {
                // 当前右子节点为空 ，则没有找到，返回null
                return null;
            }
        }
    }

    /**
     * 查找要查找节点的父节点
     * @param value 要查找的值
     * @return 返回要查找值的父节点
     */
    public Node searchParent(int value) {
        // 当前节点的左子节点或者右子节点的值等于要查找的值，说明当前节点就是其父节点
        if ((this.left != null && this.left.data == value) ||
                (this.right != null && this.right.data == value)) {
            return this;
        }

        // 如果当前节点的值大于value
        if (this.data > value) {
            if (this.left != null) {
                // 向左递归
                return this.left.searchParent(value);
            }else {
                // 如果其左子节点为空，说明没有找到，返回null
                return null;
            }
        } else {
            //  当前节点值小于或等于value,
            if (this.right != null) {
                // 向右递归查找
                return this.right.searchParent(value);
            }else {
                return null;
            }
        }
    }


    //左旋转方法
    private void leftRotate() {
        //创建新的结点，以当前根结点的值
        Node newNode = new Node(data);
        //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
        newNode.left = left;
        //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
        newNode.right = right.left;
        //把当前结点的值替换成右子结点的值
        data = right.data;
        //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
        right = right.right;
        //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
        left = newNode;
    }

    //右旋转
    private void rightRotate() {
        Node newNode = new Node(data);
        newNode.right = right;
        newNode.left = left.right;
        data = left.data;
        left = left.left;
        right = newNode;
    }


    // 返回左子树的高度
    public int leftHeight() {
        if (left == null) {
            return 0;
        }
        return left.height();
    }

    // 返回右子树的高度
    public int rightHeight() {
        if (right == null) {
            return 0;
        }
        return right.height();
    }

    // 返回 以该结点为根结点的树的高度
    public int height() {
        return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
    }

    // 平衡二叉排序数添加，左右旋转，方法
    public void add(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        // 如果要添加的节点，小于当前节点
        if (node.getData() < this.data) {
            // 如果当前节点的左子节点不为空，则向左递归
            if (this.left != null) {
                this.left.add(node);
            } else {
                // 当前节点的左子节点为空，就让添加的节点挂在当前节点的左子节点上
                this.left = node;
                return;
            }
        } else { // 要添加的节点大于或等于当前节点
            // 如果当前节点的右子节点部不为空，则递归添加
            if (this.right != null) {
                this.right.add(node);
            }else {
                // 当前节点右子节点为空，则直接把要添加的节点挂上
                this.right = node;
                return;
            }
        }

        // 当添加一个节点完成后，判断该树是否需要进行左旋转
        // 如果该树的 右子树的高度 - 左子树的高度 > 1 则进行左旋转
        if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
            // 如果其右节点的左子树的高度大于其右节点的右子树的高度，则先进行右旋转
            if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
                right.rightRotate();
                // 然后对当前节点进行左旋转
                leftRotate();
            }else {
                leftRotate();
            }
            return;
        }

        // 当添加一个节点完成后，判断该树是否需要进行右旋转
        if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
            // 如果其左节点的右子树的高度大于其左节点的左子树的高度，则先要对其左节点进行左旋转
            if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
                left.leftRotate();
                rightRotate();
            } else {
                rightRotate();
            }
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void midList() {
        if (this.left != null) {
            this.left.midList();
        }
        // 输出当前节点
        System.out.println(this);
        if (this.right != null) {
            this.right.midList();
        }
    }

    public Node(int data) {
        this.data = data;
    }

    public int getData() {
        return data;
    }

    public void setData(int data) {
        this.data = data;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node{" +
                "data=" + data +
                '}';
    }
}

avl树类

public class AVLTree {
    Node root;

    /**
     * 添加节点
     * @param node
     */
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {
            root = node;
        }else {
            root.add(node);
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void midList() {
        if (root != null) {
            root.midList();
        }
    }
}

测试类

public class MyTest {
    public static void main(String[] args) {
        AVLTree avlTree = new AVLTree();

        int[] array = {4, 3, 6, 5, 7,8};
        for (int i : array) {
            avlTree.add(new Node(i));
        }
        // 遍历
        System.out.println("中序遍历：");
        avlTree.midList();

        System.out.println("该AVL树的头预计节点是6");
        System.out.println("该AVL树的头预计节点是：" + avlTree.root);
    }
}

测试结果

中序遍历：
Node{data=3}
Node{data=4}
Node{data=5}
Node{data=6}
Node{data=7}
Node{data=8}
该AVL树的头预计节点是6
该AVL树的头预计节点是：Node{data=6}

来源：CSDN

作者：魔舞清华

链接：https://blog.csdn.net/fyj13925475957/article/details/104689267

标签

平衡二叉树

avl