椭圆隐式方程和参数方程的互相转换

1. 隐式方程转参数方程

二次曲线的一般方程为：
$A{x^2}+2Bxy+C{y^2}+2Dx^2+2Ey^2+F=0.$
若$B^2-AC<0$, 为椭圆；$B^2-AC=0$, 为抛物线；$B^2-AC>0$,为双曲线。
二次曲线可通过旋转和平移来变成标准方程，从而得到其几何参数。旋转的作用是消去交叉项，平移的作用是使中心为原点，下面以椭圆为例。
方程的二次项为：
$[x, y] \left[ \begin{matrix} A &B\\ B &C \end{matrix} \right] [x, y], \tag{1}$
一次项为
$2[x, y] \left[ \begin{matrix} D\\ E \end{matrix} \right].$我们对二次项进行旋转，消去交叉项，旋转角$\theta$就是椭圆的偏角。假设新的坐标为$(x^{'}, y^{'})$, 那么
$\left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right].$
将
$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]$
带入式(1)，然后令矩阵(1,2) 位置的元素为0，可得，
$(C-A)\sin2\theta+2B\cos2\theta=0,$
那么，$\tan2\theta=\frac{2B}{A-C}.$ 那么原来的二次项矩阵变为：
$\left[ \begin{matrix} \cos\theta &\sin\theta\\ -\sin\theta &cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B\\ B& C\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A^{'} & 0\\ 0& C^{'}\\ \end{matrix} \right].$两边同时乘以旋转矩阵的逆，并比较两边矩阵的(1,1)和(2,2)位置元素可得：
$A^{'}=A+B\tan\theta, C^{'}=C-B\tan\theta.$对于一次项，做同样的旋转操作可得，
$\left[ \begin{matrix} D^{'}\\ E^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} D\\ E\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} D\cos\theta+E\sin\theta\\ -D\sin\theta+E\cos\theta\\ \end{matrix} \right].$那么化简后的椭圆方程为
$A^{'}x^{'}{^2}+C^{'}y^{'}{^2}+2D^{'}x^{'}+2E^{'}y^{'}+F=0.$
我们对它进一步配方化为标准椭圆方程：
$\frac{(x^{'}+D^{'}/A^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}{^2}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}A^{'}}-\frac{F}{A^{'}}}+\frac{(y^{'}+E^{'}/C^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}C^{'}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}{^2}}-\frac{F}{C^{'}}}=1,$从而我们得到椭圆5个参数$(x_c, y_c, a,b,\theta)$为
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x_c=-\frac{D^{'}}{A^{'}} \\ &y_c=-\frac{E^{'}}{C^{'}}\\ &a=\sqrt{{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}{^2}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}A^{'}}-\frac{F}{A^{'}}}}\\ &b=\sqrt{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}C^{'}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}{^2}}-\frac{F}{C^{'}}}\\ &\tan\theta=\frac{2B}{A-C} \end{array}. \right.$
将相应的值带入就好。

2. 参数方程化为隐式方程

假设椭圆5参数$(x_c, y_c, a,b,\theta)$, 那么它对应的标准方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ 通过坐标变换（旋转+平移）把标准坐标变到一般坐标：
$\left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} x_c\\ y_c\\ \end{matrix} \right].$反解出$(x, y)$ 带入标准方程，通过简单的化简可得：
$\left\{ \begin{aligned} &A=b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta \\ &B=b^2\sin^2\theta+a^2\cos^2\theta \\ &C=-b^2\cos\theta\sin\theta+a^2\sin\theta\cos\theta& \\ &D=(b^2-a^2)\sin\theta \cos\theta y_c-(a^2\sin^2+b^2\cos^2) x_c\\ &E=(b^2-a^2)\sin\theta \cos\theta x_c-(a^2\sin^2+b^2\cos^2) y_c \\ &F=b^2(\cos^2\theta x_c^2+\sin^2\theta y_c^2-2\cos\theta\sin\theta x_cy_c)+a^2(\sin^2\theta x_c^2+\cos^2\theta y_c^2-2\cos\theta\sin\theta x_cy_c)-a^2b^2&\\ \end{aligned}. \right.$

来源：CSDN

作者：my-GRIT

链接：https://blog.csdn.net/qq_39709535/article/details/104672439