树 | 易学教程

树

树的概念

树的特点
【1】每个节点有零个或多个子节点；
【2】没有父节点的节点称为根节点；
【3】每一个非根节点有且只有一个父节点；
【4】除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
树的术语
【1】节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
【2】树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
【3】叶节点或终端节点：度为零的节点；
【4】父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
【5】孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
【6】兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
【7】节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
【8】树的高度或深度：树中节点的最大层次；
【9】堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
【10】节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
【11】子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
【12】森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的种类
【1】无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
【2】有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
【3】二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
【4】完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。最底层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且最底层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
完全二叉树

满二叉树

【5】平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
【6】排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
【7】霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
【8】B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。
树的存储方式
【1】顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。
【2】链式存储：由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2

二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）
二叉树的性质
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）
二叉树的代码实现

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, elem=-1, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild
class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root

    def add(self, elem):
        """为树添加节点"""
        node = Node(elem)
        #如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            #对已有的节点进行层次遍历
            while queue:
                #弹出队列的第一个元素
                cur = queue.pop(0)
                if cur.lchild == None:
                    cur.lchild = node
                    return
                elif cur.rchild == None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    #如果左右子树都不为空，加入队列继续判断
                    queue.append(cur.lchild)
                    queue.append(cur.rchild)

二叉树的遍历

广度优先遍历(层次遍历)

def breadth_travel(self, root):
        """利用队列实现树的层次遍历"""
        if root == None:
            return
        queue = []
        queue.append(root)
        while queue:
            node = queue.pop(0)
            print node.elem,
            if node.lchild != None:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild != None:
                queue.append(node.rchild)

深度优先遍历

先序遍历

def preorder(self, root):
    """递归实现先序遍历"""
    if root == None:
        return
    print root.elem
    self.preorder(root.lchild)
    self.preorder(root.rchild)

中序遍历

def inorder(self, root):
    """递归实现中序遍历"""
    if root == None:
        return
    self.inorder(root.lchild)
    print root.elem
    self.inorder(root.rchild)

后序遍历

def postorder(self, root):
    """递归实现后续遍历"""
    if root == None:
        return
    self.postorder(root.lchild)
    self.postorder(root.rchild)
    print root.elem

来源：CSDN

作者：smalllllerr

链接：https://blog.csdn.net/Tracy19970428/article/details/104563330

标签

最优二叉树