排列组合

定义

给定 $n$ 个球，从中取出 $m$ 个来$(m \leq n)$，共有多少种取法？

若考虑取出的顺序，也就是说取 $1,2$ 与 $2,1$ 相同，则是 $C$

若不考虑取出的顺序，则是 $A$

公式

$C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C^m_n \times A^m_m =\frac{n!}{m!(n-m)!} \times m! =\frac{n!}{(n-m)!}=A^m_n$

$C^{m+1}_n=\frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}$

$C^m_n\times\frac{n-m}{m+1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\times\frac{n-m}{m+1}$

$C^m_n\times\frac{n-m}{m+1}=\frac{n!}{(m+1)!(n-m-1)!}$

$C^{m+1}_n=C^m_n\times\frac{n-m}{m+1}$

杨辉三角中的组合数

$1$
$1$ $1$
$1$ $2$ $1$
$1$ $3$ $3$ $1$
$1$ $4$ $6$ $4$ $1$
$1$ $5$ $10$ $10$ $5$ $1$

杨辉三角递推式：

$F[i][j]=F[i-1][j]+F[i-1][j-1];$

$sum[i]=\sum_{j=1}^{i}F[i][j]$

则 $sum[]=\{1,2,4,8,16,32,\cdots\}$

很容易推导出

$sum[i]=2^{i-1}$

我们定义 $0!=1$，$n!=\prod_{i=1}^{n}i$

$2^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i$

运用上面的公式

$2^n=\sum_{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}$

来源：CSDN

作者：03???

链接：https://blog.csdn.net/tidongCrazy_/article/details/104538885