预备知识
领域：是一种常用的集合，设\(a,\delta \in \R,\delta > 0\)，则定义点\(a\)的\(\delta\)领域，记作\(U(a,\delta)\)，为\((a-\delta,a+\delta)\)。点\(a\)称作领域的中心，\(\delta\)称为领域的半径。
去心领域：如果把领域的中心去掉，所得到的集合即为点\(a\)的\(去心\delta\)领域，记作\(\mathring U(a,\delta)\)。即\((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}\)。
反函数：设一元函数\(f:D\rightarrow f(D)\)为一一映射，则称逆映射\(f^{-1}:f(D)\rightarrow D\)为函数\(f\)的反函数，即对于每个\(y\in f(D)\)，如果\(y=f(x)\)，则规定\(x=f^{-1}(y)\)。
复合函数：是一种特殊的复合映射。设两个函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，定义域分别为\(D_1\)、\(D_2\)且满足\(g(D_2)\subset D_1\)，则定义的函数\(h(x)=f(g(x))\)称为由函数\(u=g(x)\)和函数\(y=f(u)\)构成的复合函数，其中变量\(u\)称为中间变量，\(u=g(x)\)称为中间函数，用\(f\circ g\)来表示函数\(h\)，即：\(h(x)=(f\circ g)(x)\)。
基本初等函数：1、幂函数（\(y=x^a\)）；2、指数函数（\(y=a^x,a>0且a\neq 1\)）；3、对数函数（\(y=\log_a x,a>0且a\neq 1\)），注意\(\lg x\)和\(\ln x\)的特殊意义；4、三角函数（\(\sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc\)），注意它们的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间；5、反三角函数（例如\(\arcsin,\arccos,\arctan\)等），同4。
初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和函数复合步骤所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数。
双曲函数及其反函数：一类特殊的函数，与三角函数的特点相似。
（1）双曲正弦：\(y=\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)。其反函数为\(y=\mathrm{arsinh}\ x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，这个不难解出来，求解时注意取值范围。
（2）双曲余弦：\(y=\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)。其反函数为\(y=\mathrm{arcosh}\ x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)，同上。
这几个函数同样要注意定义域和值域。
Part 1 极限与连续
Section 2 数列的极限
数列：如果按照某个法则，每个\(n\)（\(n\in\Z^+\)）对应于一个确定的实数\(x_n\)，那么可以按下标从小到大依次排列得到一个序列\(x_1,x_2,\dotsb,x_n,\dotsb\)，这就叫数列，简记为\((x_n)_{n=1}^\infty\)，有时也简称为数列\(x_n\)。数列的第\(n\)项也叫一般项，刻画数列的特征。
数列的极限：对于一个数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)，当\(n\)无穷增大时，\(x_n\)无限接近于一个定数\(a\)，则称\((x_n)_{n=1}^\infty\)的极限是\(a\)，并记作\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)。有的数列可能没有极限。
极限的定义：\(\forall \varepsilon>0,\exist N\in\Z^+\)，当\(n>N\)时，总有\(\mid x_n-a\mid<\varepsilon\)；或者是\(a\in\R\)，若\(\forall U(a,\varepsilon),\exist N\in\Z^+\)，当\(n>N\)时，总有\(x_n\in U(a,\varepsilon)\)，则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)。
推论：数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)收敛于\(a\)的充要条件是，对\(\forall U(a,\varepsilon)\)，只有有限多项\(x_n\notin U(a,\varepsilon)\)。
定理1（收敛数列的有界性）：如果数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)收敛，那么该数列必定有界。逆命题不一定成立。
定理2（收敛数列的保号性）：如果\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)，且\(a>0\)（或\(a<0\)），那么存在正整数\(N\)，当\(n>N\)时，都有\(x_n>0\)（或者\(x_n<0\)）。
推论：如果数列\((x_n)_{n=1}^\infty\)从某项起有\(x_n\geqslant 0\)（或者\(x_n\leqslant 0\)）且\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\)，则\(a\geqslant 0\)（或者\(a\leqslant 0\)）。该命题为定理2的逆否命题。
定理3（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列收敛，则它的任一子数列也收敛并且收敛于同一值。
来源：https://www.cnblogs.com/ac-evil/p/12270234.html