RMQ学习笔记 | 易学教程

一、RMQ：
RMQ（Range Minimum/Maximun Query）指的是区间最值问题。即求多次查询区间最大值和最小值问题。一般常用的解决方法有：
1、暴力：O（n ^ 2）;
2、ST表：预处理O（nlogn），单次查询O（1），空间O（nlogn）；
3、线段树：预处理O（nlogn），单次查询O（logn），空间O（n）；
二、接下来我将逐条讲述一下每一种算法（以最小值为例，最大值同理，暴力的算法我就直接跳过啦）：
1、ST表：
ST表基于倍增和DP的思想，用二维数组dp[i][j]记录从第i位开始，连续 $2^j$ 位的最小值，这样，我们可以得出，dp[i][0] = a[i]。
这样dp的初值就有啦。那我们如何写dp的状态转移方程呢？
我们可以考录将 $2^j$ 的区间分成两部分，每一部分的大小都是 $2^{j-1}$ ，
即将[i , i + $2^j$ - 1]分成[i , i + $2^{j-1}$ - 1]和[i + $2^{j-1}$ , i + $2^j$ - 1]两部分。这样就可以得到状态转移方程dp[i][j] = min(dp[i][j-1] , dp[i + (1 << j - 1)][j-1];
那这样ST表的预处理部分就结束啦，那么ST表如何查询呢？
比如对于区间[i,j]，我们还是将区间分成两部分，每一部分的大小都是
k = log2(j - i + 1)，这样ans = min (dp[i][k] , dp[j - (1 << k) + 1][k])，这样查询的效果就是像下面的图一样
在这里插入图片描述
查询会有一些重叠部分，但对结果不会有影响，总的代码如下（以洛谷p3865为例）：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define LL long long
const int maxn =1e5 + 7;

int dp[maxn][30];
int a[maxn];

void init_ST(int n) {
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        dp[i][0] = a[i];
    }
    for(int j = 1 ; (1 << j) <= n ; j++) {
        for(int i = 1 ; i + (1 << j) - 1 <= n ; i++) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i + (1 << (j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int query(int l,int r) {
    int k = log(r - l + 1.0) / log(2.0);
    return max(dp[l][k],dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main() {
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        init_ST(n);
        while(m--) {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%d\n",query(l,r));
        }
    }
    return 0;
}

2、线段树：
众所周知，线段树是一个十分强大的数据结构，可以进行区间求和，区间修改，区间合并等一系列区间操作，那么它就一定可以解决RMQ问题。事实上，对于符合区间性质的问题，都可以尝试用线段树解决，比如GCD。那线段树该如何实现RMQ问题呢？
首先，我们知道线段树用一个父节点来存储两个子节点的信息，所以我们这次就可以用父节点来存储子节点的RMQ。所以，有线段树基础的小伙伴是不是就懂啦？update和query操作和普通的一摸一样，就是父节点存储的信息变啦，仅此而已。现在用poj3264举例说明线段树查询区间最值。这一题就是求区间最大值与最小值之差，线段树解法如下：

#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define LL long long
#define lson l , m , rt<<1
#define rson m+1 , r , rt<<1|1

const int maxn = 1e5 + 7;
const int mod = 99991;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int a[maxn << 2],b[maxn << 2];

void push_up(int rt) {
    a[rt] = min(a[rt << 1] , a[rt << 1|1]);
    b[rt] = max(b[rt << 1] , b[rt << 1|1]);
}

void build(int l,int r,int rt) {
    if(l == r) {
        scanf("%d",&a[rt]);
        b[rt] = a[rt];
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        a[rt] = val;
        b[rt] = val;
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) update(L,R,val,lson);
    if(R > m) update(L,R,val,rson);
    push_up(rt);
}

int query_min(int L,int R,int l,int r,int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        return a[rt];
    }
    int MIN = INF;
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) MIN = min(MIN,query_min(L,R,lson));
    if(R > m) MIN = min(MIN,query_min(L,R,rson));
    return MIN;
}

int query_max(int L,int R,int l,int r,int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        return b[rt];
    }
    int MAX = 0;
    int m = (l + r) >> 1;
    if(L <= m) MAX = max(MAX,query_max(L,R,lson));
    if(R > m) MAX = max(MAX,query_max(L,R,rson));
    return MAX;
}

int main() {
    int n,q;
    while(~scanf("%d%d",&n,&q)) {
        build(1,n,1);
        while(q--) {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%d\n",query_max(l,r,1,n,1) - query_min(l,r,1,n,1));
        }
    }
    return 0;
}

来源：CSDN

作者：山水人家٩( 'ω' )و

链接：https://blog.csdn.net/qq_43423395/article/details/104045627

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