【数学】二倍角，三折腰

$\huge\textsf{【二倍角，三折腰】}$

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$\Large\texttt{【模板】}$

$\textsf{如图，当}\angle C = \frac{1}{2} \angle B \textsf{时，可在BC上取点D，使得}AD=DC$

$\textsf{此时}AB=AD=DC\textsf{（显而易见）}$

$\textsf{有时可以作三线合一（}AE \perp BC, FD \perp AC\textsf{）为辅助。}$

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$\large\texttt{【例1】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 229题}$

$\textsf{如图},\angle DAC = 2 \angle DAB,\angle ACB = 2 \angle ABC,AD=2,\textsf{求AC。}$

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$\textsf{解：}$

$\color{#FF4B2B}\textsf{三折腰：}BF-FA-AC;$

$\textsf{作}AG \perp BC, DH \perp BC$

$\textsf{倒角易得}\angle AEG=60\degree$

$\textsf{设}HE=x,\textsf{则}ED=2x,AE=2-2x,EG=1-x,HG=HE+EG=x+1-x=1$

$\textsf{设}HC=y,\color{#FF4B2B}\textsf{三线合一：}\color{black}BH=CH=y,CG=CH-HG=y-1,BG=BH+HG=y+1$

$\color{#FF4B2B}\textsf{三线合一：}\color{black}FG=CG=y-1,BF=BG-FG=(y+1)-(y-1)=2$

$\large\therefore AC=BF=2.$

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$\large\texttt{【例2】天津2012中考 18题第（2）问}$

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$\textsf{如图，将}\angle MAN \textsf{放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，}$

$\textsf{角的一边AN与水平方向的网格线平行，另一边AM经过格点B，AB=2.5cm．}$

$\textsf{现要求只能使用}\dot{\textsf{ 带 刻 度 的 直 尺}}\textsf{，请你在图中作出}\frac{1}{3}\angle MAN \textsf{，并简要说明做法（不要求证明）}$

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$\textsf{解：}$

$\textsf{过}B\textsf{作}BD\parallel AN ,\;\textsf{作}BE\perp AN \textsf{于}E\; ;$

$\textsf{在}BD\textsf{上找一点}D,\textsf{使得}AD\textsf{交}BE\textsf{于}C,\; CD = 5cm,$

$\textsf{则}\angle DAN = \frac{1}{3} \angle MAN .$

$\sout\textsf{结论：我到了天津连作图题都不会。}$

$\textsf{可是为什么呢？}$

$\textsf{我们可以作}CD\textsf{中点} F\textsf{，则}AB = BF = FD = FC = 2.5 cm$

$\therefore \color{#FF4B2B}AB-BF-FD\textsf{三折腰}$

$\textsf{设}\angle FBD = \angle FDB = \alpha,\;\textsf{则}\angle BFA = \angle BAF = 2\alpha$

$\because BD\parallel AN , \therefore \angle NAD = \angle BDC = \alpha$

$\angle NAD = \alpha ,\angle MAD = 2\alpha ,\;\angle MAN = 3\alpha ,$

$\therefore \angle NAD = \frac{1}{3}\angle MAN.$

$\large\textrm{Q.E.D.}$

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$\large\texttt{【例3】《平几大典——60}\degree\texttt{与正三角形》 230题}$

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$\textsf{如图，在}\triangle ABC\textsf{中，}CD = BE = 2,\;D\textsf{、}E\textsf{分别在}AC\textsf{、}AB\textsf{上，}$

$\angle BDE = 30 \degree ,\angle ABC = 2\angle ACB = 4\angle DBC ,$

$\textsf{求}AB .$

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$\textsf{解：作}\color{#FF4B2B}BF-FD-DC\textsf{三折腰}\color{black},\;\textsf{作}FG \perp BD \textsf{于}G,\;BH \perp DE \textsf{延长线于}H$

$\textsf{则}BE = BF = FD = DC = 2 ,\;BH = \frac{1}{2}BD = BG = DG$

$\textsf{又}\because \angle BHE = \angle BGF = 90 \degree,\;\therefore \triangle BGF \cong \triangle BHE \;(\;HL\;)$

$\therefore \angle HBE = \angle GBF,\;\therefore \angle HBD = \angle ABC$

$\textsf{设}\angle DBC = \alpha ,\;\textsf{则} \angle C = 2\alpha ,\;\angle HBD =\angle ABC = 4\alpha$

$\textsf{又}\because \angle HBD = 60 \degree ,\therefore \alpha = 15 \degree.\;\angle C = 30 \degree ,\;\angle ABC = 60 \degree ,\;\angle A = 90\degree$

$FC = \sqrt{3}CD = 2\sqrt{3} ,\;BF = CD = 2,\;\therefore BC = 2+2\sqrt{3},$

$\large \therefore AB = \frac{1}{2}BC = 1+\sqrt{3}.$

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$\Large\texttt{【总结】}$

$\textsf{娱乐性：}\Large\star\star\star\star$

$\textsf{实用性：}\Large \star\star$

$\textsf{中考考到的可能性：} \Large \star \;\tiny\textsf{（除非你是幸运的天津考生XD）}$

$\textsf{适用范围：}\color{#FF4B2B}\textsf{【玄】}$

$\small\textsf{题目实在太少，平几大典上有6道，外加一道中考题，我一共也只找到了7题XD}$

$\small\textsf{仅当体验数学乐趣时使用吧qwq}$

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附录：

1.画图软件：Desmos（ 几何区 ）

2.参考资料：《平几大典——60与正三角形》

3.转载请注明出处 $\tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}$

来源：CSDN

作者：A_Dark_Horcrux

链接：https://blog.csdn.net/qq_43498359/article/details/103992607