费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,
通过计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数.
二次探测定理:如果
是素数，且
，则方程
的解为
或
。
利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,
一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.
先贴出long long 范围的代码：
1 /*
2 long long 范围的Miller-Rabin素数测试
3 */
4
5 #include <iostream>
6 #include <stdio.h>
7 #include <string.h>
8 #include <stdlib.h>
9 #include <time.h>
10 #define ll long long
11 using namespace std;
12
13 //计算a*b%mod
14 ll mod_mul(ll a, ll b, ll n){
15 ll cnt = 0LL;
16 while(b){
17 if(b&1LL) cnt = (cnt+a)%n;
18 a=(a+a)%n;
19 b >>= 1LL;
20 }
21 return cnt;
22 }
23 //计算a^b%mod
24 ll mod_exp(ll a, ll b, ll n){
25 ll res = 1LL;
26 while(b){
27 if(b&1LL) res = mod_mul(res,a,n);
28 a = mod_mul(a,a,n);
29 b >>= 1LL;
30 }
31 return res;
32 }
33 //Miller-Rabin测试，测试n是否为素数
34 bool Miller_Rabin(ll n, int respat){
35 if(n==2LL || n==3LL || n==5LL || n==7LL || n==11LL) return true;
36 if(n==1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11)) return false;
37
38 int k = 0;
39 ll d = n-1; //要求x^u%n 不为1一定不是素数
40
41 while(!(d&1LL)){
42 k++; d >>= 1LL;
43 }
44 srand((ll)time(0));
45 for(int i = 0; i < respat; i ++) {
46 ll a = rand()%(n-2)+2; //在[2,n)中取整数
47 ll x = mod_exp(a,d,n);
48 ll y = 0LL;
49 for(int j = 0; j < k; j ++){
50 y = mod_mul(x,x,n);
51 if(1LL==y && 1LL!=x && n-1LL!=x)return false; //二次探测定理，这里如果y = 1则x必须等于 1
52 //或n-1,否则可以判断不是素数
53 x = y;
54 }
55 if(1LL != y) return false; //费马小定理
56 }
57 return true;
58 }
59 int main(){
60 int n;
61 cin>>n;
62 if(Miller_Rabin(n,5))cout << "Yes\n";
63 else cout << "No\n";
64 return 0;
65 }
当数字达到10^30时，就要用到大数了，贴下模板。
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdlib>
4
5 #define MAXL 4
6 #define M10 1000000000
7 #define Z10 9
8
9 const int zero[MAXL - 1] = {0};
10
11 struct bnum{
12 int data[MAXL]; // 断成每截9个长度
13
14 // 读取字符串并转存
15 void read(){
16 memset(data, 0, sizeof(data));
17 char buf[32];
18 scanf("%s", buf);
19 int len = (int)strlen(buf);
20 int i = 0, k;
21 while (len >= Z10){
22 for (k = len - Z10; k < len; ++k){
23 data[i] = data[i] * 10 + buf[k] - '0';
24 }
25 ++i;
26 len -= Z10;
27 }
28 if (len > 0){
29 for (k = 0; k < len; ++k){
30 data[i] = data[i] * 10 + buf[k] - '0';
31 }
32 }
33 }
34
35 bool operator == (const bnum &x) {
36 return memcmp(data, x.data, sizeof(data)) == 0;
37 }
38
39 bnum & operator = (const int x){
40 memset(data, 0, sizeof(data));
41 data[0] = x;
42 return *this;
43 }
44
45 bnum operator + (const bnum &x){
46 int i, carry = 0;
47 bnum ans;
48 for (i = 0; i < MAXL; ++i){
49 ans.data[i] = data[i] + x.data[i] + carry;
50 carry = ans.data[i] / M10;
51 ans.data[i] %= M10;
52 }
53 return ans;
54 }
55
56 bnum operator - (const bnum &x){
57 int i, carry = 0;
58 bnum ans;
59 for (i = 0; i < MAXL; ++i){
60 ans.data[i] = data[i] - x.data[i] - carry;
61 if (ans.data[i] < 0){
62 ans.data[i] += M10;
63 carry = 1;
64 }
65 else{
66 carry = 0;
67 }
68 }
69 return ans;
70 }
71
72 // assume *this < x * 2
73 bnum operator % (const bnum &x){
74 int i;
75 for (i = MAXL - 1; i >= 0; --i){
76 if (data[i] < x.data[i]){
77 return *this;
78 }
79 else if (data[i] > x.data[i]){
80 break;
81 }
82 }
83 return ((*this) - x);
84 }
85
86 bnum & div2(){
87 int i, carry = 0, tmp;
88 for (i = MAXL - 1; i >= 0; --i){
89 tmp = data[i] & 1;
90 data[i] = (data[i] + carry) >> 1;
91 carry = tmp * M10;
92 }
93 return *this;
94 }
95
96 bool is_odd(){
97 return (data[0] & 1) == 1;
98 }
99
100 bool is_zero(){
101 for (int i = 0; i < MAXL; ++i){
102 if (data[i]){
103 return false;
104 }
105 }
106 return true;
107 }
108 };
109
110 void mulmod(bnum &a0, bnum &b0, bnum &p, bnum &ans){
111 bnum tmp = a0, b = b0;
112 ans = 0;
113 while (!b.is_zero()){
114 if (b.is_odd()){
115 ans = (ans + tmp) % p;
116 }
117 tmp = (tmp + tmp) % p;
118 b.div2();
119 }
120 }
121
122 void powmod(bnum &a0, bnum &b0, bnum &p, bnum &ans){
123 bnum tmp = a0, b = b0;
124 ans = 1;
125 while (!b.is_zero()){
126 if (b.is_odd()){
127 mulmod(ans, tmp, p, ans);
128 }
129 mulmod(tmp, tmp, p, tmp);
130 b.div2();
131 }
132 }
133
134 bool MillerRabinTest(bnum &p, int iter){
135 int i, small = 0, j, d = 0;
136 for (i = 1; i < MAXL; ++i){
137 if (p.data[i]){
138 break;
139 }
140 }
141 if (i == MAXL){
142 // small integer test
143 if (p.data[0] < 2){
144 return false;
145 }
146 if (p.data[0] == 2){
147 return true;
148 }
149 small = 1;
150 }
151 if (!p.is_odd()){
152 return false; // even number
153 }
154 bnum a, s, m, one, pd1;
155 one = 1;
156 s = pd1 = p - one;
157 while (!s.is_odd()){
158 s.div2();
159 ++d;
160 }
161
162 for (i = 0; i < iter; ++i){
163 a = rand();
164 if (small){
165 a.data[0] = a.data[0] % (p.data[0] - 1) + 1;
166 }
167 else{
168 a.data[1] = a.data[0] / M10;
169 a.data[0] %= M10;
170 }
171 if (a == one){
172 continue;
173 }
174
175 powmod(a, s, p, m);
176
177 for (j = 0; j < d && !(m == one) && !(m == pd1); ++j){
178 mulmod(m, m, p, m);
179 }
180 if (!(m == pd1) && j > 0){
181 return false;
182 }
183 }
184 return true;
185 }
186
187 int main(){
188 bnum x;
189
190 x.read();
191 puts(MillerRabinTest(x, 5) ? "Yes" : "No");
192
193 return 0;
194 }
来源：https://www.cnblogs.com/xingkongyihao/p/7200338.html