So you want to be a 2n-aire?【期望DP】

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我们用递推的思想， 用d[i]表示“答对i题后的最大期望奖金”，再加上“不回答”时的情况，可以得到：若第1题答对 概率为p，期望奖金的最大值 = $max(2^0, p*d[1])$
上述分析可以推广到一般情况，但是要注意一点：到目前为止，一直假定p是已知的， 而p实际上并不固定，而是在$t～1$内均匀分布。根据连续概率的定义，d[i]在概念上等于 $max(2i, p*d[i+1])$在$p=t～1$上的积分.
因为有max函数的存在，需要分两种情况讨论，即$p*d[i+1]<2^i$和$p*d[i+1]≥2^i$两种情况。 令$p0=max(t, 2i/d[i+1])$（加了一个max是因为根据题目，$p≥t$），则：

• $p<p_0$时，$p*d[i+1]<2^i$，因此“不回答”比较好，期望奖金等于$2^i$。

• $p≥p_0$时，“回答”比较好，期望奖金等于d[i]乘以p的平均值（d[i]作为常数被“提出
  来”了），即$(1+p_0)/2 * d[i+1]$。

在第一种情况中，p的实际范围是$[t,p_0)$，因此概率为$p_1=(p_0-t)/(1-t)$。根据全期望公 式，$d[i] = 2i * p_1 + (1+p_0)/2 * d[i+1] * (1-p_1)$。
边界是$d[n] = 2^n$，逆向递推出$d[0]$就是本题的答案。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=50;
double d[N];
int n;
double t; 
int main(){
	while(cin>>n>>t,n||t){
		d[n]=(1<<n);
		for(int i=n-1;i>=0;i--){
			double p0=(double)(1<<i)/d[i+1];
			if(p0<t) p0=t;
			double p1=(p0-t)/(1-t);
			d[i]=(1<<i)*p1+(1+p0)/2*d[i+1]*(1-p1);
		}
		printf("%.3lf\n",d[0]);
	}	
} 

来源：CSDN

作者：~lxh

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43601905/article/details/103239654