裴蜀定理的证明

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定理

ax+by=c,x∈Z∗,y∈Z∗成立的充要条件是gcd(a,b)|c

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证明

设s=gcd(a,b)，显然s|a，并且s|b
又因为x,y∈Z
所以s|ax,s|by
显然要使得之前的式子成立，则必须满足c是a和b的公约数的倍数

又因为x和y是正整数

所以c必然是a,b最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立

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