POJ3696

$POJ3696$

• 题目
  POJ3696
• 题意
• 分析
  $x$个$8$连在一起组成的正整数可写作${\frac{8{(10^x-1)}}{9}}$,把题目的问题转化为：求一个最小的$x$,满足$L|8(10^x-1)/9$.
  • 前提：
    $gcd(ac,bc) = c$ $\Rightarrow$ $gcd(a,b) = 1$
    $gcd({\frac{ac}{gcd(ac,bc)}},{\frac{bc}{gcd(ac,bc)}}) = 1$
    即：正整数$x,y$的最大公约数不为$1$时，可以通过同时除以最大公约数方法使得这两个数互质。
    已知$q|p*x,gcd(p,q) = 1$ $\Rightarrow$ $q|x$.
    推广式：
    $d|i*j$ $\Rightarrow$ ${\frac{d}{gcd(i,d)}|{j}}$
  • 推导：
    $L|{\frac{8(10^x-1)}{9}} {\Leftrightarrow} 9L|8(10^x-1)$
    需要化简成：$m|10^x-1$这样的形式。$8$不能直接除到$9L$那里。所以先
    ${\frac{8(10^x-1)}{9}} = kL$
    $\qquad$$\Downarrow$
    $8(10^x-1) = 9kL$
    $\qquad$$\Downarrow$
    现在是$9L|8(10^x-1)$ $gcd(L,8)$不一定等于$1$,所以需要等式两边同时除以$gcd(8,L)$，使得满足等式两边$gcd$等于$1$
    $\qquad$$\Downarrow$
    ${\frac{8(10^x-1)}{gcd(8,L)}} = {\frac{9kL}{gcd(8,L)}}$
    设$p = {\frac{8}{gcd(8,L)}},q = {\frac{9L}{gcd(8,L)}}$
    则：
    $p*(10^x-1) = qk$
    由前提：$q|(10^x-1)$即：
    ${\frac{9L}{gcd(L,8)}}|(10^x-1)$
    $\qquad$$\Downarrow$
    $10^x{\equiv}1{\pmod{\frac{9L}{gcd(L,8)}}}$ 同余性质
• 代码

/*
独立思考
*/
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
template <typename T>
void read(T &x)
{
	x = 0;
	char c = getchar();
	int sgn = 1;
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-')sgn = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	x *= sgn;
}
template <typename T>
void out(T x)
{
	if (x < 0) {putchar('-'); x = -x;}
	if (x >= 10)out(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll d, k, p, s, L;
ll phi(ll n) {
	ll ans = n;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0) {
			ans = ans / i * (i - 1);
			while (n % i == 0) n /= i;
		}
	if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
	return ans;
}

ll gcd(ll x, ll y) {
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}


ll ksc(ll a, ll b, ll c) {
	ll ans = 0;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = (ans + a) % c;
		a = a * 2 % c;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll ksm(ll a, ll b, ll c) {
	ll ans = 1 % c;
	a %= c;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ksc(ans, a, c);
		a = ksc(a, a, c);
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll number() {
	d = gcd(L, 8ll);
	k = 9 * L / d;
	if (gcd(k, 10ll) != 1) return 0;
	p = phi(k);
	s = sqrt(p);
	for (int i = 1; i <= s; i++)
		if (p % i == 0 && ksm(10ll, i, k) == 1)
			return i;
	for (int i = s - 1; i; i--)
		if (p % i == 0 && ksm(10ll, p / i, k) == 1)
			return p / i;
	return 0;
}


int main ()
{
	int flag = 0;
	while (scanf("%lld", &L) != EOF && L)
	{
		printf("Case %d: %lld\n", ++flag, number());
	}
	return 0 ;
}

• 方法
  欧拉函数，同余，快速幂
• 总结

来源：CSDN

作者：strategist_614

链接：https://blog.csdn.net/strategist_614/article/details/88382683