##积性函数\[\forall p,q \wedge gcd(p,q)=1 , f(pq)=f(p)*f(q)\]
\(\mu\)函数定义
\[ n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}\cdots*a_k^{p_k}\\ \mu(n)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,n = 1\\ (-1)^k,a_i=1\\ 0,otherwise \end{array} \right. \]
\(\mu\)函数性质
1.\[ \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]([n=1]表示仅当n=1时返回值为1，其余为0）
2.\[ \sum_{d|n}{\mu(d)\over{d}}={\varphi(n)\over{n}} \]
线性筛莫比乌斯函数
void init()
{
memset(vis,0,sizeof vis);
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i)
{
if (!vis[i])
{
mu[i]=-1;
prime[++tot]=i;
}
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
else
{
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
}
莫比乌斯反演
若\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
则有 \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F({{n}\over{d}})\]
证明
\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)\\ =\sum_{p|n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)\ \ \ \ (p=dk)\\ =\sum_{p|n\wedge p\neq n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)+f(n)\sum_{k|1}\mu(k)\\=0+f(n) =f(n) \]
另一种形式
若\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]
则有 \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {d} {n})*F({d})\]
另一种形式证明
\[\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\sum_{d|p}f(p)\\ =\sum_{q=1}^{+\infty}\mu(q)\sum_{nq|p}f(p)\ \ \ \ \ (q=\frac{d}{n})\\ =\sum_{n|p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ =\sum_{n|p \wedge n\neq p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q)+f(n)\sum_{q|1}\mu(q)\\ =0+f(n)=f(n)\\ \]
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