【CRT】中国剩余定理简介
中国剩余定理（CRT） 中国剩余定理出自中国的某本古书，似乎是孙子兵法？（雾 其中有这样一个问题： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 即，对于这样一个方程组： \[ \begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\x\equiv a_3\pmod{m_3}\\\dots\\x\equiv a_i\pmod{m_i}\end{cases} \] 我们已知所有 \(a_i,m_i\) ，求可行解 \(x\) ，可以证明的是， 若所有 \(m_i\) 互质，那么该方程组有唯一解。 可以构造出一个解：如果有 \(k\) 个方程，设 \(M=\prod_{i=1}^k m_i,n_i=\frac{M}{m_i}\) ，则有 \(x=\sum_{i=1}^k a_in_in_i^{-1}\pmod{M}\) 。 扩展中国剩余定理（EXCRT） 扩展中国剩余定理不要求 \(m_i\) 互质，其结论是由数学归纳法得出的，跟CRT实际上没太大关系。这种情况下，方程组的解是不唯一的。 首先考虑两个方程的情况。 假设我们有 \(x\equiv a_1\pmod{m_1},x\equiv a_2\pmod{m_2}\) ，那么显然 \(x+m_1*t_1=a_1,x+m_2*t_2=a_2\) ，其中