增广矩阵

关于矩阵的逆有很多性质和定理，例如，可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵，可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时，Strang教授讲了一种几何的思路： 矩阵不可逆的证明 根据可逆矩阵的定义，如果方阵 A ∗ B = I \mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I} A ∗ B = I ，则 A \mathbf{A} A 和 B \mathbf{B} B 互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子，有矩阵 A = [ 1 2 2 4 ] \mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} A = [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ，如果 A \mathbf{A} A 可逆，则有 [ 1 2 2 4 ] ∗ B = [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ∗ B = [ 1 0 ​ 0 1 ​ ] ，对矩阵 [ 1 2 2 4 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] 中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量 [ 1 0 ] \begin

教程1-基本操作与矩阵输入 变量 查看变量的属性 命名变量注意点 清除变量 format函数-控制数值的显示格式 矩阵 向量 Array indexing(数组索引) 方法1-由行列确定 方法2-由排序确定（按列数） 替换元素-索引的应用 colon operator-快速建立等差数列 array concatenation-构造增广矩阵 array manipulation-矩阵加减乘除等 some special matrix 矩阵的常见函数 变量 查看变量的属性 方法1 ：工作区-双击变量 有几乘几以及精度信息： 方法2 ：comand窗格输入whos 命名变量注意点 不要用内置的函数名和关键字命名，不然可能用错含义 如下命令可以查看内置的keyword有哪些 iskeyword 清除变量 清除全部 clear 清除A变量 clear A format函数-控制数值的显示格式 format short：默认格式，小数点后保留4位 format long：有效数字16位 format short e：有效数字5位加3位指数 format long e：有效数字16位加3位指数 format bank：保留两位小数位 format +：只显示正负 format rat（or rational）：有理数，即分数形式 矩阵 向量 行向量 A=[1 2 3] 列向量 B=[1;2;3]

1、matlab允许向量（和矩阵）合并，且matlab提供了两种合并方式，[a,b]和[a;b]，两者的结果是不一样的。 a=rand(2,3)； b=rand(2,3)； c=[a;b]； d=[a,b]； c的结果是将b整体合并到a 的下边，而d的结果是整体将b合并到a 的右边。 2、创建等差向量组 a=[1:2:11] 注意涉及到向量内部对应数据之间的运算时一定要用点运算符号，（.）例如，求表达式b=a^2时应该写作 b=a.^2 也可以利用linspace来创建等差向量，linspace（a，b，n）创建从a到b长度为n的等差数列。当n省略时，默认是100. 3、向量的点乘和叉乘：点乘调用dot命令，dot（a，b），含义是两向量对应元素相乘并求和； 叉乘cross（a,b）,值得注意的是a,b应该是同维的，且行数或列数中至少有一个是3 4、引用向量元素： a(i)取矩阵a中的第i个元素，a（：）将a的所有元素列出来，a（n:m）列出矩阵a中从第n个到第m个元素。 5、复数的转置 如果矩阵包含有复数元素，那么转置操作会自动计算复数的共轭值，即a’实际上是将a反转并求共轭。 如果希望只是求转置而不用共轭则应当用(a.’)。 6、矩阵中数组相乘，a.*b。作用是ab的对应元素相乘，求得一个与ab同维的矩阵 7、对矩阵的元素进行操作。 a(:,2)取第二列元素 a(2,:)=[

Introduction （1）问题描述： super resolution（SP）问题：Gallery是 high resolution（HR），Probe是 low resolution（LR）。 （2）当前存在的问题： ① 当前的半耦合（semi-coupled）矩阵学习是解决SR复原，而不是直接进行行人重识别； ② 行人图片存在噪声，直接使用半耦合矩阵学习无法很好的刻画特征空间。 （3）Contribution： ① 提出一个新的半耦合低秩判别矩阵学习方法（semi-coupled low-rank discriminant dictionary learning approach，SLD 2 L），该方法从图像特征中学习得到高低分辨率字典对，将低分辨率特征映射到高分辨率特征； ② 提出一个多视角 SLD 2 L 方法，对不同类别的特征学习出不同的特征对。 Brief Review （1）SR问题中的耦合字典训练： 目标函数： 其中 x i 和 y i 为HR和LR的一对，且 ，γ 是平衡因子，D x 和 D y 为耦合字典，K 为原子数量，N 为训练样本数量，a 为编码系数。 （2）行人重识别问题中的半监督耦合字典学习（SSCDL）： 假定 x = {x 1 , x 2 , ..., x n }， y = {y 1 , y 2 , ..., y m }，目标函数： 其中

1.Introduction 在上一节，已经引入了矩阵A和我们要面临的第一个问题Ax=b。 2.高斯消元法 2.1计算方法 假设Ax=b是下面的形式 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] [ x y z ] = [ 2 12 22 ] (2.1) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 &4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 22 \end{bmatrix} \tag{2.1} ⎣ ⎡ ​ 1 3 0 ​ 2 8 4 ​ 1 1 1 ​ ⎦ ⎤ ​ ⎣ ⎡ ​ x y z ​ ⎦ ⎤ ​ = ⎣ ⎡ ​ 2 1 2 2 2 ​ ⎦ ⎤ ​ ( 2 . 1 ) 通过行之间的相减，或者互换，化成阶梯形式(echelon form)，这里引入了 增 广 矩 阵 \color{red}{增广矩阵} 增 广 矩 阵 [ 1 2 1 ∣ 2 3 8 1 ∣ 12 0 4 1 ∣ 22 ] → [ 1 2 1 ∣ 2 0 2 − 2 ∣ 6 0 0 5 ∣ 10 ] (2.2) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 3 & 8 & 1 & | & 12 \\ 0

矩阵运算 1. 加、减运算 运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。 运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。 例1-22 >>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6] >>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2] >>A＋B=A+B >>A-Ｂ=A-B 结果显示：A+B= 9 2 7 4 7 10 5 12 8 A－B= -7 0 -5 -2 -3 -4 -3 -6 4 2. 乘法 运算符：* 运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。 1．两个矩阵相乘 例1-23 >>X= [2 3 4 5; 1 2 2 1]； >>Y=[0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0]； Z=X*Y 结果显示为： Z= 8 5 6 3 3 3 2．矩阵的数乘：数乘矩阵 上例中：a=2*X 则显示：a = 4 6 8 10 2 4 4 2 向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。 数组乘法： A.*B表示A与B对应元素相乘。 3 ．向量点积 函数 dot 格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。 C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积

MIT线代教程 http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.html 《转载》 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列

[作者：byeyear，首发于cnblogs.com，转载请注明。联系：east3@163.com] 回忆学校的美好时光，顺便复习一下学校学过的知识吧。 1. 三种行初等变换 倍加变换 （某一行的倍数加到另一行） 对换变换 （两行交换） 倍乘变换 （某一行所有元素乘以同一个非零数） 2. 行等价 一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。 行变换可逆。 3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。 4. 简化行阶梯矩阵 a) 非零行的先导元素为0 b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素 一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。 5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。 6. 向量的平行四边形法则 若R 2 中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。 [思考：即使u，v不是R 2 而是R 3 甚至R n 中的向量，上述结论是否仍然成立？] 7. 向量方程 x 1 a 1 +x 2 a 2 +...+x n a n=b 和增广矩阵如下的线性方程组 [a 1 a 2 ... a n b] 和矩阵方程 Ax=b 有相同的解集。 8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。 9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价： a) 对R m 中每个b，Ax=b有解 b) R m 中的每个b都是A的列的一个线性组合

The Span of the set of vectors Definition 1 Let \(\mathcal { S } = \left\{ \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } , \dots , \mathbf { u } _ { k } \right\}\) is a set of vectors from \(\mathcal{R^n}\) , the span of \(\mathcal{S}\) is all linear combinations in \(\mathcal{R^n}\) , the set is denoted by span \(\mathcal{S}\) , or span \(\left\{ \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } , \dots , \mathbf { u } _ { k } \right\}\) \(\vec v \in \text{span } \mathcal{S} \Longleftrightarrow \vec v \text{ can be some linear combination by the vectors from $\mathcal{S}$} \Longleftrightarrow

1、线性方程组概述 线性方程组： 包含未知数x1，x2，x3....xn的线性方程 　　其中b与系数a1，a2，a3...an是实数或复数，通常是已知的；下标n可以为任意数；线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1，x2，x3....xn的线性方程组组成； 线性方程组的解分为相容、与不相容两种情况； 　　 相容： 1、唯一解；2、无穷解 　　 不相容： 无解 线性方程组矩阵表示 　　可以使用矩阵来表示线性方程组： 　　 系数矩阵： 只包含方程组系数的矩阵 　　 增广矩阵： 在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵 2、解线性方程组 　　通过使用矩阵表示线性方程组，对矩阵使用行初等变换，把矩阵行化简为：行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵； 初等行变换： 　　1、倍加变换——把某行换成它本身与另一行的倍数和 　　2、对换变换——两行对换 　　3、倍乘变换——某一行的所有元素乘以同一个非零数 行阶梯形矩阵： 　　1、每一非零行在每一零行之上 　　2、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边 　　3、某一最左边非零元素所在列下方都是零 　　简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化： 　　1、每一非零行最左边非零元素为1 　　2、每一最左边非零元素1是该元素所在列的唯一非零元素 同一个矩阵使用不同的方法化简，存在不同的行阶梯形，但简化阶梯形只存在一个；