小波变换

原文： http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart3.html 译文： https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190467 小波合成 如果满足式3.18所示的条件，则CWT为 可逆变换 。幸运的是，这并不是一个非常苛刻的条件。只要满足式3.18所示的条件，即便 基函数并不是归一化正交基 。由小波系数计算原始信号值的 小波重构过程 可用如下公式计算： 式 3.17 逆连续小波变换 其中 C_psi为与所用小波有关的常数。这个与小波重构过程有关的常数称为 容许性常数。 式3.18所示的小波重构条件称为容许性条件。 式 3.18 容许性条件 其中psi^hat(xi)为psi(t)的傅立叶变换。式3.18还表明： psi^hat(0) = 0 即： 式 3.19 由前面的讨论可知，式3.19并不是一个非常苛刻的条件，因为许多小波函数的积分值为0。满足式3.19所示条件的小波必定是振荡的。 来源： https://www.cnblogs.com/sggggr/p/11872151.html

原文： http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart3.html 译文： https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190451 CWT应用举例 下面给出的所有例子均为现实生活中的非平稳信号。这些信号都来自包括正常人与阿尔茨海默氏症（Alzheimer）患者的事件相关电位（ERP）数据库。因为这些不是如简单正弦信号一样的测试信号，要解释它们并不容易，这里只是为了说明现实信号的连续小波变换（CWT）到底是怎样的。 图3.11所示为正常人的ERP信号： 图 3.11 图3.12为图图3.11所示信号的CWT结果。坐标轴上的数字可以不必太关心。这些数字仅是表明，计算CWT时，在平移-尺度平面上有350个平移单位和60个尺度单位。需要特别说明的是，这里的计算并不是真正的连续小波变换。因为显然，上述结果是在有限个点上计算出来的。它仅仅是CWT的一种离散形式，这点稍后会再解释。同时还要说明的是，这更不是离散小波变换(DWT)。DWT的内容会在更后面介绍。 图 3.12 图3.13与图3.12一样同样是图3.11所示信号的CWT，只是观看的角度与图3.12有所不同。 图 3.13 图3.14是Alzheimer 症患者的ERP信号： 图 3.14 图3.15为图3.14所示信号的CWT结果。 图 3.15

下面我们会更进一步的分析小波变换的分辨率特征。还记得，正是由于分辨率的问题，才使得我们短时傅立叶变换转到小波变换上。 图3.9经常被用来解释怎样诠释时间和频率分辨率。图3.9中的每个方块都反映了在时频平面内的小波变换结果。所有的方块都有特定的非零区域，这说明在时频平面内，不能知道某个特定点对应的值。时频平面内每个方块中的点都代表了小波变换的一个结果。 图3.9 更深入的看一下图3.9，虽然方块的宽高改变了，但是其面积却是常数。即每一个方块都代表时频平面内相等的部分，只不过时间和频率不相同。注意到在最低频处，方块的高度比较短（意味着频率分辨率最高，更容易知道确切的频率），但是最高频处的方块高度最高（意味着频率分辨率最低，更不易知道确切的频率）。在高频处，方块的宽度减小，时间分辨率提高了，随着方块高度降低，频率分辨率越来越低。 在总结这一节之前，我们应该再提一下快速傅立叶变换中的时频图是怎么样的。回想一下快速傅立叶变换中的时频分辨率是由窗口宽度决定的，一旦确定就不变了，因此时频分辨率也就固定了。因此它的时频平面是由方块组成的。 不考虑放宽的维数，STFT和WT的结果都满足海森堡测不准原理。总结一下，方块的面积对STFT和CWT来说都是固定的， 不同的窗函数将产生不同的面积 。但是，不管怎样，方块的面积都至多在1/4\pi左右。根据海森堡测不准原理，我们不能将方块无限缩小。但在另一方面

译文转： https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190303 原文转：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html 图3.4和3.5是s=4和s=5时的相同处理过程。注意到窗口宽度的改变是如何使频率分辨率降低的。随着窗口宽度的增大，变换将会夹杂一些低频分量。 结果，对每一个尺度和时间（间隔），都会得到时间——尺度平面内的一个点。同样比例时计算出来的结果作为时间——尺度平面的行，不同的比例计算出来的结果时间——尺度平面的列。 图 3.4 图 3.5 现在，看下面这个例子，看一下小波变换到底是什么样的。考虑图3.6中的非平稳信号。这个例子和在讲STFT时给出的例子很像，除了频率不同之外。如图所示，图中的信号是由四个频率分量组成的，分别为30Hz，20Hz，10Hz和5Hz。 图 3.6 图3.7是信号的连续小波变换。图中的轴分别是平移和缩放，不是时间和频率。不过，平移就对应着时间，因为它表明了母小波的位置。对母小波的平移可以看成是自从t=0时刻开始时间的流逝。而尺度，则是另外一种完全不同的情况了。还记得式3.1吗，s对应频率的反比。换句话说，考虑到分辨率问题时，无论何时我们谈到小波变换的性质，s的反比将会在图中展示时域信号的小波变换。 图3.7 注意到图3

译文转： https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190303 原文转： http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart1.html 连续小波变换的计算 对上面公式的解释将在本节中进行详细说明。以x(t)作为被分析的信号。选用的小波作为信号处理中用到的所有窗函数的原型。应用的所有窗都是母小波的放大（或缩小）和平移版本。有很多函数可以满足这个条件。Morlet小波和墨西哥帽小波（Mexican hat）是其中最有代表性的，本章中后面部分中所举的例子也会用这两个小波进行小波分析。 一旦选择了母小波，就可以从s=1开始计算了，连续小波变换就是计算对应所有值的s，或者小于1，或者大于1。不过，与要分析的信号有关，一般不需要完整的变换。对所有的应用来说，信号是有带宽限制的，因此，在有限时间内做变换就经常能够满足要求了。在这篇文章里的后续部分，只用到s在有限时间内的值。 为方便起见，计算过程将会始于s=1，然后s值逐渐增大，即分析将会从 高频开始，然后逐步到低频 。s的第一个值是对大多数缩小的小波的反映。随着s增大，小波逐渐被放大。 小波要被放在信号的最初点，即t=0时刻。用尺度为1的小波函数与信号相乘，然后在所有时间内做积分。积分结果再乘上这个常量——1/sqrt(s)。

译文转： https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190303 原文转： http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart1.html 那么，我们怎样把这些时间信息加到频率图中去呢？让我们更进一步的看一下这个问题。 傅立叶变换有什么缺点？它不适用于非平稳信号。让我们想一下这个问题：我们能不能假定部分非平稳信号是稳定的呢？ 答案是肯定的。 看上面第三幅图，每250个的时间段内，信号都是平稳的。 你可能会问下面这个问题？ 如果我们假定信号为平稳的那段时间足够短呢？ 如果它确实很短，那么它就太短了，我们用它什么也干不了，实际上，这也很正常。我们要遵守物理定律来玩这个游戏。 如果我们假定信号为稳定的这个时间段很短，那么我们可以从窄窗中来观察信号，窗口要窄到我们从窗里看到的信号确实是平稳的。 研究者们最终确定的这个数学逼近，作为傅立叶变换的一个修改版本，叫做 短时傅立叶变换（STFT） 。 短时傅立叶变换和傅立叶变换只有一个微小的不同点。在短时傅立叶变换中，信号被分为足够小的片段，这些片段的信号都可以看成平稳信号。基于这个原因，就需要一个窗函数w。窗的宽度必须和信号片段的宽度相等，这样它的平稳性才有效。 这个窗必须位于信号的最前端，即窗函数必须在时刻存在。让我们假定窗宽度是T,位于t=0秒，在t=0时刻

在做答辩PPT和看看DTCWT后图像到底长什么样之间，毫不犹豫选择了后者。 使用了python的DTCWT；据说小波变换域细节信息提取很好。 目标： 提取图片的DT-CWT分解后的6个高频小波子带的幅值最大值 SM(x, y) = max{Bi(x, y), i=1,2,3,4,5,6} 原图： 参考： https://dtcwt.readthedocs.io/en/0.12.0/ 代码： import matplotlib.image as mpimg from matplotlib.pylab import * import numpy as np # Show image fryPic = mpimg.imread('fry.jpg') figure(1) fryPic=fryPic[:,:,0] imshow(fryPic, cmap=cm.gray) show() import dtcwt transform = dtcwt.Transform2d() # Compute one levels of dtcwt with the defaul wavelet family fryPic_t = transform.forward(fryPic, nlevels=1) # Show the absolute images for each direction in

前言 　　语言是一种复杂的自然习得的人类运动能力。成人的特点是通过大约100块肌肉的协调运动，每秒发出14种不同的声音。说话人识别是指软件或硬件接收语音信号，识别语音信号中出现的说话人，然后识别说话人的能力。特征提取是通过将语音波形以相对最小的数据速率转换为参数表示形式进行后续处理和分析来实现的。因此，可接受的分类是从优良和优质的特征中衍生出来的。Mel频率倒谱系数(MFCC)、线性预测系数(LPC)、线性预测倒谱系数(LPCC)、线谱频率(LSF)、离散小波变换(DWT)和感知线性预测(PLP)是本章讨论的语音特征提取技术。这些方法已经在广泛的应用中进行了测试，使它们具有很高的可靠性和可接受性。研究人员对上述讨论的技术做了一些修改，使它们更不受噪音影响，更健壮，消耗的时间更少。总之，没有一种方法优于另一种，应用范围将决定选择哪种方法。 本文主要的关键技术：mel频率倒谱系数(MFCC)，线性预测系数(LPC)，线性预测倒谱系数(LPCC)，线谱频率(LSF)，离散小波变换(DWT)，感知线性预测(PLP) 1 介绍 　　人类通过言语来表达他们的感情、观点、观点和观念。语音生成过程包括发音、语音和流利性[1,2]。这是一种复杂的自然习得的人类运动能力，在正常成年人中，这项任务是通过脊椎和颅神经连接的大约100块肌肉协调运动，每秒发出大约14种不同的声音

一、前言   数字图像处理第七章的小波和多分辨率处理学不走了，把小波变换基础学习一下。如果有人不小心查看到这篇文章，建议跳过这里，直接阅读： https://blog.csdn.net/hellozex/article/details/78330923 https://blog.csdn.net/hellozex/article/details/78330923 二、基础概念 2.1 傅里叶变换基本原理 参考知乎： https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083 傅里叶变换公式如下： 原始信号如下： 基函数如下： 总结：说到底，这就是一个搞基的过程，通过对基的伸缩、平移。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系，那么我们就知道信号包含该频率的的成分有多少。 缺点：由于基函数的能量范围是整个空间，对于一些平稳的信号可以很好的处理，比如周期函数。但是现实中大多数信号都是非平稳信号，能量范围是整个空间的基函数，傅里叶之后的频域就只有频率幅值，这样就会丢失时域信息。这里可能会有几个问题： 傅里叶的本质是作甚？ 答：他想表达的是一种变化

目录 1. 小波变换 程序1 程序2 程序3 程序4 2. 短时傅立叶变换 程序1 程序2 1. 小波变换 程序1 %%% 小波变换 %%%%%% %% 导入数据 clc,clear close all; fs=1000; t=0:1/fs:2; f1=100; f2=50; s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %% 画出图像 figure (1); % 时程信号绘图 plot(t,s); xlabel('t'); ylabel('幅值'); legend('正弦波'); grid on; set(gcf,'color','white'); % 刷白 saveas(gcf,'1.jpg'); %% 小波变换 wavename='cmor3-3'; totalscal = 2048; wcf = centfrq(wavename); % 小波的中心频率 cparam = 2*wcf*totalscal; % 为得到合适的尺度所求出的参数 a = totalscal:-1:0.2; scal = cparam./a; % 得到各个尺度，以使转换得到频率序列为等差序列 coefs=cwt(s,scal,wavename); % 得到小波系数 f=scal2frq(scal,wavename,1/fs); % 将尺度转换为频率 %% 绘制小波图像 figure