gcd

前言 之前只知道一味的背辗转相除法的biao，连它是欧几里得算法都不知道，所以决定写一篇证明 百度百科了解一下 欧几里德算法又称 辗转相除法 ，是指用于计算两个 正整数 a，b的 最大公约数 。应用领域有数学和计算机两个方面。 计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。 //这就是我接下来要证明的东东 证明 假设 1.求n、m的最小公倍数 2、a、b分别是 m div n 和 m mod n，即 m = na + b 3、gcd（m，n）表示m、n的最大公因数 求证：gcd(m,n) = gcd(n,b),也就是gcd(x,y)=gcd(y,x mod y)//上面说的那个 证：设c=gcd(m,n),d=gcd(n,b) (1): 因为 c 为m，n的公因数 所以 c | m,c | n //“|” 是整除符号，x | y代表x是y的因数 所以 c | na //n乘任意整数都是c的倍数 所以 c | （m - na） 即 c | b //因为m和na都是c的倍数，所以相减也是 所以 c 为 n,b 的公因数 因为 d 是 n,b 的最大公因数 所以 c <= d (2):同理可证 d <= c 因为 d 为n，b的公因数 所以 d | n , d | b //“|” 是整除符号，x | y代表x是y的因数 所以 d | na //n乘任意整数都是d的倍数 所以

　　来纪中以及十九天了 　　纪中生活快要结束了， 　　以后就写三鑫生活吧！！ 开始吧： 第一题还没有想出来 　　 第二题 台风 (FloodFill) 分析：从上到小从左到右扫描卫星云图，如果某位置(a[i,j]=’.’)and(f[i,j]=false)，则从(i,j)出发进行FllodFill,把所有和它相连的位置全部更新为True,同时记录数量num，其他操作比较简单，就不用说了。 第三题 最大公约数（跌代法） 分析： (1) 简单的枚举法事件复杂度为O（N）可以得40分； (2) 辗转相除法对于Qword范围内的数可以直接求余，时间复杂度为O（lgN）可以得60分，但是对于很大数就要用高精度求余； (3) 辗转相除法+高精度求余时间复杂度为O(X^2*lgN,N=10^X)可以得80分； (4) 跌代法可以得100分。 跌代法的递归关系式如下： 1、N=M时：Gcd(N,M)=N 2、N,M同为奇数时： Gcd(N,M)= ①N>M:Gcd(N,M)=Gcd(N-M,M)②M>N:Gcd(N,M)=Gcd(N,M-N) 3、N为奇、M为偶时：Gcd(N,M)=Gcd(N,M DIV 2) 4、N为偶、M为奇时：Gcd(N,M)=Gcd(N DIV 2,M) 5、N、M同为偶数时：Gcd(N,M)=2*Gcd(N DIV 2,M DIV 2) 时间复杂度为O（X*lgN）

gcd(x a - 1 , x b - 1) = x gcd(a , b) - 1 (x>1,a,b>0) （HDU 2685） gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ] fib是斐波那契数列 gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ] lcm(ka , kb) = k * lcm(a , b) lcm(a/b , c/d) = lcm(a , c) / gcd(b , d) a > b , gcd(a , b)==1 , 则gcd(a m - b m , a n - b n ) = a gcd(m , n) - b gcd(m , n) 设G = gcd( C 1 n , C 2 n ,·········C n n ) 则G的值为：（HDU2582） n为素数：本身 n有多个素因子：1 n只有一个素因子：该因子 一个数的所有因子的欧拉函数之和等于这个数本身 最小生成树中的最大边权为所有生成树中最大边权的最小值（所有生成树中最大边权的最小值在MST上） 威尔逊定理：p为素数 等价于 ( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 即p | (p-1)!+1 （HDU 6608） 费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a （p-1） ≡1（mod p） 费马-欧拉定理

整除也是一片新天地呢qwq 整除的定义：设n为非负整数，d为正整数，如果n/d为整数。则称d整除n,记作d|n。 任何正整数都整除0。 约数:设n为非负整数,d为正整数，如果存在d|n,则称d为n的约数。 最大公约数（GCD）：设a为正整数，b为正整数，a和b的所有约数中，相同且最大的那个称为a,b的最大公约数， 记作gcd(a,b)。 最大公约数的性质：gcd(a,0)=a; gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); gcd(a,b)=gcd(b,a); 1，质因数分解求GCD 先将a和b质因数分解。 得到 a=∏P i a i b= ∏P i b i gcd(a,b)=∏P i min(a i ,b i ) 2，辗转相除法求GCD 利用性质：gcd(a,b)=gcd(b,a%b); gcd(a,0)=a; 1 inline void gcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) return a; 4 return gcd(b,a%b); 5 } 若gcd(a,b)=1,则称a,b互质。 求n的正约数集合：试除法 求1-n每个数的正约数集合：倍数法，类似于埃氏筛不同的是不是只用质数筛，是用每个数都筛一遍。 倍数：若a,b为正整数，d为非负整数，若a|d,b|d,则称d为a,b的倍数。 最小公倍数（LCM）：a,b的所有公倍数中最小的那个。 LCM（a

欧几里得算法、拓展欧几里得算法 欧几里得算法：$gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$ int gcd(int a,int b) { if (b==0) return a; return gcd(b,a%b); } 快速欧几里得算法（更相减损术）：$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$ #define ctz __builtin_ctzll LL gcd(LL a,LL b) { if(!a) return b; if(!b) return a; int t=ctz(a|b); a>>=ctz(a); do { b>>=ctz(b) ; if(a>b) swap(a,b); b-=a; } while(b); return a<<t; } 拓展欧几里得算法：解不定方程$ax+by=gcd(a,b)$ 算$gcd(a,b)$时， 有$ax+by=gcd(a,b)$ $(1)$ 算$gcd(b,a\%b)$时， 有$bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)$ $(2)$ 设$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor=k$，有$a \% b = a-k\times b$ 带入$(2)$，有$ay'+b(x'-ky')=gcd(a,b)$， 因为对于任意的$a,b$恒成立，所以有 $ \left\{\begin{matrix} {y=x'-ky'} \\ {x

什么是多线程？ 计算机在运行一段程序的时候，会把该程序的CPU命令列配置到内存中，然后按照顺序一个一个执行命令列，这样1个CPU执行的CPU命令列为一条无分叉路径就是线程。 而有多条这样的执行指令列的路径存在时即为多线程。 iOS实现多线程有4种方法： pthreads NSThread GCD NSOperation & NSOperationQueuef 这里我们主要讲GCD 一、Dispatch Queue和线程的关系 什么是Dispatch Queue？ 如其名称，是执行处理的等待队列。当我们通过dispatch_async等函数把Block加入Dispatch Queue后，Dispatch Queue按照追加的顺序（FIFO）执行处理。 通过Dispatch Queue执行处理 Dispatch Queue的种类 Serial Dispatch Queue（串行队列） ——等待现在执行中处理结束再加入队列 Concurrent Dispatch Queue（并发队列） ——不等待现在执行中处理结束，直接加入队列 Serial Dispatch Queue Concurrent Dispatch Queue 用代码说明： Serial Dispatch Queue dispatch_queue_t serial_queue = dispatch_queue_create(

欧几里得算法： \[gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\] 证明： 显然（大雾） 扩展欧几里得及证明： 为解决一个形如 \[ax+by=c\] 的方程。 根据裴蜀定理，当且仅当 \[gcd(a,b)|c\] 时方程有解。 然后解这个方程。。。 我觉得大概就是： 我们设 \[ax_1+by_1=gcd(a,b)\] \[bx_2+(a\bmod b) y_2=gcd(b,a\bmod b)\] 根据欧几里得以及 \(a\bmod b=a-\lfloor a/b\rfloor\) 有 \[ax_1+by_1=bx_2+(a-\lfloor a/b\rfloor)y_2\] \[ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor a/b\rfloor y_2\] 根据 恒等定理 (?)得： \[x1=y2,y1=x2-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor *y2\] 然后我们知道， \(gcd(a,b)|c\) 。 那么我们算出 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的答案来之后，只要把他乘上 \(c/gcd(a,b)\) 就好啦。 反正我知道代码哼唧 Code void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b == 0) { x = 1;y = 0; return; } exgcd(b,a%b,y,x);

求关于 x 的同余方程 ax≡1(mod b) 的最小正整数解。 对于 100%的数据， 2≤a,b≤2*10 9 。 NOIP 2012 提高组 第二天 第一题 (只看Exgcd的自行跳过这段文字) 先撇开扩展欧几里得什么的不管，首先证明辗转相除法。 gcd(greatest common divisor)，是一种计算两个数最大公约数的算法，时间复杂度为O(1)。简单来说，我们定义gcd(a,b)为a、b的最大公约数，那么gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。一般使用递归计算，在最后一层，a≡0(mod b)的时候，这一层的b即为答案。 下面给出证明： 令a>b，则存在正整数k、r，使得a=kb+r，而r≡a(mod b)，所以我们要证明的结论就是gcd(a,b)=gcd(b,r)。 若r=0，那么以上结论显然。 那么，若r≠0呢？ 假设gcd(a,b)=d，那么存在正整数p、q，使得a=pd，b=qd(p>q)。 所以pd=kqd+r，整理得r=(p-kq)d。因为r>0，所以pd>kqd，显然p-kq为正整数，所以r必为d的倍数，不难证明gcd(a,b)=gcd(b,r)，也就是gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。 1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 using namespace std

零，前言： 学chty_sqy开个数论集合 学OI的时候以看数论就头大，现在该还了 T_T 建议推导和证明不熟或不会的同学动手推导 而且公式看上去不太清楚，学习的同学请仔细阅读 以前数论怎么都学不会，主要还是浮躁，不仔细看，没有动手 orz 一，gcd（欧几里得算法）： 两个数a和b的最大公因数被称为gcd(a, b) 求gcd通常用欧几里得算法 原理：gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 详情： https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html 代码： 1 int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a;} 一行gcd 二，exgcd（扩展欧几里得算法）： 数论守门员 有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。 扩展欧几里得算法研究的是形如 a*x+b*y=c 的丢番图方程的解 方程有解当且仅当gcd(a, b)|c 原理：a*x1+b*y1=gcd(a, b)，b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b)，gcd(a, b)=gcd(b, a%b) => x1=y2，y1=(x2-⌊a/b⌋*y2) 详情： https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html 代码： 1 void exgcd(int a,int b

怎样跑得更快 大力水手问禅师：“大师，我觉得我光有力气是不够的。比如我吃菠菜可以让力气更大，但是却没有提升跑步的速度。请问怎样才能跑得更快？我试过吃白菜，没有效果。” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你先看看这道UOJ Round的C题。” 令 \(p = 998244353\) （ \(7 \times 17 \times 2^{23} + 1\) ，一个质数）。 给你整数 \(n, c, d\) 。现在有整数 \(x_1, \dots, x_n\) 和 \(b_1, \dots, b_n\) 满足 \(0 \leq x_1, \dots, x_n, b_1, \dots, b_n < p\) ，且对于 \(1 \leq i \leq n\) 满足： \[ \begin{equation} \sum_{j = 1}^{n} \gcd(i, j)^c \cdot \text{lcm}(i, j)^d \cdot x_j \equiv b_i \pmod{p} \end{equation} \] 其中 \(v \equiv u \pmod{p}\) 表示 \(v\) 和 \(u\) 除以 \(p\) 的余数相等。 \(\gcd(i, j)\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 的最大公约数， \(\text{lcm}(i, j)\) 表示 \(i\) 和 \(j\)