dft

学了好久，终于基本弄明白了 推荐两个博客： 戳我 戳我 再推荐几本书： 《ACM/ICPC算法基础训练教程》 《组合数学》（清华大学出版社） 《高中数学选修》 预备知识 复数方面 找数学老师去 \[i^{2}=-1，i为虚数的单位\] 坐标系上纵轴就是虚数轴，复数就是这上面的点 三种表示法: \[一般：a + bi，a为实部，b为虚部\] \[指数：e^{i\theta}*坐标系上的模长\] \[三角：模长*(cos\theta + i sin \theta)\] 运算： 加减法：实部虚部分别相加 乘法： \[(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi^{2} = ac-bd+(ad+bc)i\] 欧拉公式 \[e^{ix} = cosx + isinx(就是指数表示和三角表示)\] \[特别的e^{i\pi} = -1\] 多项式 \[系数表示法：A(x) = \Sigma _{k=0}^{n - 1} a_kx^k\] \[点值表示法：对于所有的x_k，求出它们对应的A(x)，设为y_k\] \[则可以用\{(x_0, y_0), (x_1, y_1), ......, (x_n-1, y_n-1)\} 表示这个多项式 并且是唯一确定的\] 单位复数根 \[n次单位复数根\omega^{n} = 1，n次单位复数根刚好有n个对应e^{

傅里叶变换将信号分解为正弦波，离散傅里叶变换DFT基于数字信号。real DFT是将输入输出信号都用实数表示，一般用复数DFT，但实数DFT是基础。 傅里叶变换族 傅里叶变换是傅里叶在研究热传导时发现的，他提出用正弦波代表温度分布并向法兰西学会提交论文。但当时的法兰西学会权威拉格朗日对此理论并不赞成，拉格朗日认为傅里叶的方法不能代表非连续信号。实际上拉格朗日某些条件下是对的，因为正弦波之和确实无法表示非连续信号，但却可以无限接近，即两者能量无限接近。这种现象叫做吉布斯效应。当信号为离散信号时傅里叶分解完全成立，拉格朗日所拒绝的是连续信号。 一个16点长度信号被分解为正弦信号和余弦信号，如下图所示： 如上图所示傅里叶分解将此信号分解为9个正弦信号和9个余弦信号。每个都有不同的幅度和频率。至于为何选用正弦波而不是三角波或者方波进行分解，这主要正弦信号特有的特性：正弦信号保真度。正弦信号输入到一个系统中其输出仍为正弦信号，其频率和波形保持不变，只有其幅度和相位发生改变。正弦曲线是唯一有此特性的波。 傅里叶变换可以根据4种不同信号分为4类，信号可以是离散或者连续的，也可能是周期的或者非周期的。因此可以分为以下4类： 非周期连续 这种信号傅里叶变换简单的叫做傅里叶变换FT 周期连续 这种信号傅里叶变换叫做傅里叶级数FS 非周期离散 这种信号傅里叶变换叫做离散时间傅里叶变换DTFT 周期离散

目录 一、研究的意义 二、DFT的定义 三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 四、DFT的周期性 五、matlab实验 五.1 程序 五.2 实验结果 一、研究的意义 DTFT计算公式，中的w取值是连续的而且从负无穷大到正无穷大，对于计算机处理是不可能的，需要无限细分无限区间。即使在DTFT小节中用matlab实现计算，也只是将(-pi,pi)区间划分成1600份来逼近DTFT的效果。 实际上真正用的是DFT，离散傅里叶变换。离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。 二、DFT的定义 由上边的定义可知，w=(2*pi/N)*k ,k=0,1,......,N-1，所以w的范围为[0，(N-1/N)*2*pi]。因为是离散取值，实际的区间长度为N，但不含第N个点，w的范围就是[0，2*pi)。 也就是说DFT变换的频谱范围是在竖轴的右侧（>0），而且取了FT变换的一个周期(0,2*pi)。 三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 四、DFT的周期性 以下的四个式子，在程序设计和理解程序中经常用到，wd、wa分别为数字角频率和其对应的模拟角频率。 （1） ，描述了模拟角频率、数字角频率以及DFT变换的k之间的对应关系 （2） ，描述了数字角频率与模拟角频率之间的关系 （3）