昨天同事遇到一个优惠券使用的问题，用下班时间和早上研究了下，和动态规划的背包问题有关，但又不同于背包，感觉比较有意思就在这里做个记录，在群里讨论和梳理成文字也使自己更清晰的了解自己知道什么。
问题的精简描述为：购买商品时，有多张满减优惠券可用（可叠加使用），求最优策略（减免最多）。 准确描述为：
设共有n张优惠券C: [(V1, D1), (V2, D2), (V3, D3), ..., (Vn, Dn)]，其中Vn为面值，Dn为减免值（对于一张优惠券Cx，满Vx减Dx），优惠券为单张，可叠加使用（使用过一张后，如果满足面值还可以使用其他优惠券）。求商品价值为M时，使用优惠券的最优策略：1.减免值最多，2.优惠券剩余最优（比如对于 C1 (2, 0.1) 、C2 (1, 0.1) 只能选择一张的最优取舍就是用C1留C2 ）。
输入：
期望输出：
看到其他人推荐背包，由于没用过背包算法，通过 动态算法规划算法背包问题 学习了下背包的思想。顺便了解一下动态规划能解决什么问题：
适用动态规划方法求解的最优化问题应该具备的两个要素：最优子结构和子问题重叠。――《算法导论》动态规划原理
优惠券问题看起来和背包问题很像，但是有一点不同
图1 背包问题和优惠券问题的不同
图中，背包问题里面的数据为：在负重已知的前提下能装物品的最优总价值；优惠券问题里面的数据为总金额能使用优惠券的最优总减免值。
对于背包问题，如果负重为4，策略只能是拿2号物品，因为拿取2号之后负重还剩（4-3=1），再拿不了1号物品了（最终价值为1.5）；对于优惠券问题，如果金额为4，使用完2号优惠券之后，金额还剩（4-1.5=2.5），还可以再用1号优惠券的（最终减免值为2.5）。
总结这个不同就是：背包判断大于重量W，再减去W，得到剩余值再去上一层找最优解（统计价值）；优惠券则是需要判断大于面额V，再减去减免值D，剩余值再去上一层找最优解（统计减免值D）。
而且因为这个不同，优惠券问题的数据对优惠券顺序是有要求的，不像背包问题中，总是负重减物品重量，剩余的重量直接去找上次最优再计算就好了。顺序问题分两种：
一、对于优惠券，不同面额的顺序
图2 优惠券面额顺序对结果的影响
图中，将物品和券的顺序颠倒，对于背包问题，最后一行数据完全相同，对结果无影响；对于优惠券问题，顺序变了结果会不一样。（因为需要满足优惠券(v,d), 中的v才能减去第二项，所以对顺序有要求）。所以，不同面额 (V不同) 的优惠券，应该升序排列。
二、面额相同，减免值不同
图3 优惠券面额相同，不同减免值的顺序对结果的影响
因为背包思想是通过上一次的结果来铺垫下一次的值，所以从上往下需要先生成同额度的最优值。所以，同面额不同减免值 (V同D不同) 的优惠券，应该降序排列。
排序示例为：
[ (2, 1.9), (1, 1), (1, 0.1), (2, 0.1) ]
需排列为
[ (1, 1), (1, 0.1), (2, 1.9), (2, 0.1), ]
综以上 一点不同两种顺序 的情况所述，使用背包之前需要排序（V升D降），按V升序，如果V相同，再按D降序排。再使用背包算法（大于V减去D）。
本来想说一句，思路有了，程序都不重要。但是，在写的过程中，这个排序思路（V升D降），是试出来的，而不是先想好的。所以动手还是很重要的，不然我的脑子还想不长远。
用的多维数组，可以优化的点有：用一维数组存储；间隔优化（如果优惠券有分，span为100，那数组就很大了）。Python 版程序：
# coding:utf-8 # 背包算法，解决满减优惠券叠加使用问题 def coupon_bags(coupon, amount): """ 优惠券背包算法 param: coupon 优惠券数组 param: amount 金额 """ # 转换金额跨度（间隔）： 元->角 span = 10 amount = int(amount*span) for i, v in enumerate(coupon): for j in range(len(v)): coupon[i][j] = int(coupon[i][j]*span) # 初始化结果数组，dps 存储满减值（背包算法结果） ，dps_coupons 存储优惠券 dps = [] dps_coupons = [] for i in range(len(coupon)+1): dps.append(list((0,)*(amount+1))) # list 直接 * 生成的是同一list，用循环生成 dps_coupons.append([]) for j in range(amount+1): dps_coupons[i].append([]) for i in range(1, len(coupon)+1): for j in range(1, amount+1): if j < coupon[i-1][0]: # 获取上个策略值 dps[i][j] = dps[i-1][j] dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j] else: if(dps[i-1][j] > dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1]): # 上一行同列数据 优于 当前优惠券+剩余的金额对应的上次数据，取之前数据 dps[i][j] = dps[i-1][j] dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j] else: # 选取当前+剩余 优于 上一行数据 dps[i][j] = dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1] dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]].copy() dps_coupons[i][j].insert(0, tuple(coupon[i-1])) # print(f"{i} {j}, {tuple(coupon[i-1])} dps {i-1} {j-coupon[i-1][1]}:{dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]]} ") print('----------------------------------------------------') # 结果需返回数据原单位（元） result_coupons = dps_coupons[-1][-1].copy() for i, v in enumerate(result_coupons): result_coupons[i] = list(result_coupons[i]) for j in range(len(v)): result_coupons[i][j] = result_coupons[i][j]/span print(f"使用优惠券：{result_coupons} 总减免：{dps[-1][-1]/span}") # 优惠券 coupon_items = [ [1, 1], [1, 0.1], [2, 1.9], [2, 0.1], ] # 举例中的优惠券是最终顺序。确保优惠券已经排序过，多维升序(V升D降)，此处省略 # sorted_coupon(coupon) coupon_bags(coupon_items, 3) """ coupon_items = [ [1, 0.6], [2, 0.7], [2, 1.3], [3, 2.3], ] coupon_bags(coupon_items, 5) """ 输出：使用优惠券：[[2.0, 0.1], [2.0, 1.9], [1.0, 1.0]] 总减免：3.0
还写了PHP版本的，一并发上来吧。
<?php /** * 背包算法，解决优惠券问题 * @param array $coupon 优惠券数组 * @param float $amount 金额 */ function coupon_bags($coupon, $amount) { # 转换金额单位（跨度）：角 $span = 10; $amount = intval($amount * $span); foreach ($coupon as $i => $v) { for ($j = 0; $j < count($v); $j++) { $coupon[$i][$j] = intval($coupon[$i][$j] * $span); } } # 结果，多数组 $dps = []; $dps_coupons = []; for ($i = 0; $i <= count($coupon); $i++) { for ($j = 0; $j <= $amount; $j++) { $dps[$i][$j] = 0; $dps_coupons[$i][$j] = []; } } # 排序，多维升序(内降) # sort_coupon($coupon); for ($i = 1; $i <= count($coupon); $i++) { for ($j = 1; $j <= $amount; $j++) { if ($j < $coupon[$i - 1][0]) { # 获取上个策略值 $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j]; $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j]; } else { if ($dps[$i - 1][$j] > $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1]) { # 上一行同列数据 优于 当前优惠券+剩余的金额对应的上次数据，取之前数据 $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j]; $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j]; } else { # 选取当前+剩余 优于 上一行数据 $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1]; $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]]; $dps_coupons[$i][$j][] = $coupon[$i - 1]; } } } } # 结果需返回数据原单位（元） $t = end($dps_coupons); $t2 = end($dps); $result_coupons = array_reverse(end($t)); $result_dps = end($t2); foreach($result_coupons as &$v){ foreach($v as &$v2){ $v2 = $v2/$span; } } $result_dps/=$span; echo "\n使用优惠券：". print_r($result_coupons, true). "总减免：{$result_dps}."; } $coupon_items = [ [1, 1], [1, 0.1], [2, 1.9], [2, 0.1], ]; coupon_bags($coupon_items, 3); 算法思想很重要。多思考多动手多交流。如果发现了漏洞，请您不吝赐教。