动态规划 | 易学教程

一、动态规划概论：

1、动态规划的基本要素：

（1）最优子结构性质：在一块块的子问题中，需要最优的解

（2）重叠子问题性质：子问题可能需要重复计算

2、动态规划算法的步骤：

·(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

·(2)递归地定义最优值。

·(3)以自底向上的方式计算出最优值。

·(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

3、算法的思想：

（1）将整个问题划分成若干个子问题，整个问题的解依赖于子问题的解。

（2）子问题可能需要重复计算，因此可以使用一张表格来记录已经算出来的解

二、矩阵连乘问题

1、问题描述：有n个已经排好序的矩阵，确保是可以连乘的，求一个最优划分的方式来相乘，可以让所需要的相乘次数最少

2、理论基础：（1）两个AmsBsn相乘，所需要的乘法次数是msn

(2)一大堆矩阵相乘Ams……Bsn，相乘得到的矩阵的长和宽是Cmn

3、解题的思路：

（1）搞清楚最优解的性质和结构关系：

一段长度的矩阵连乘得到的最优解是：将该段矩阵从某处（这一处需要循环的计算来选择出来min的那个）断成两截相乘，其中每一节的相乘次数也是最优的。

（2）写出递归关系：

其中数组p的下标代表的是第i个数组的宽

（3）计算最优值：

列两个表格，一个s,一个m:

s:断开位置；m:最优的相乘次数

（4）计算最优解：查表。先查找最终的，再递归进行查找分开的两部分如何构造的。

4、时间复杂度：O(n^3)

5、

•递归算法求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。

•动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。

•通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长，而用动态规划算法只需要多项式时间。

三、最长公共子序列

1、基本的思路：如果我们已知公共子序列z

（1）对于A,B，如果Am=Bn,那么Zk=Am=Bn,AB公共子序列的长度是Am-1和Bn-1的最长公共子序列长度加上最后这个字，也就是1.

（2）对于A,B，如果Am≠Bn,并且Zk≠Am,AB公共子序列的长度是Am-1和Bn的最长公共子序列长度

（3）对于A,B，如果Am≠Bn,并且Zk≠Bm,AB公共子序列的长度是Am和Bn-1的最长公共子序列长度

以上满足最优子结构性质

2、递归关系：（此处的Z不是已知的了）

3、重叠子问题性质：要求两端的最长子结构，需要用到他们的子段的最优解，很多段都这样，重复计算

4、基本代码：

void LCSLength(int m，int n，char *x，char *y，int **c，int **b)
{         int i，j;
       for (i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
       for (i = 0; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
       for (i = 1; i <= m; i++)
          for (j = 1; j <= n; j++) {
             if (x[i]==y[j]) { 
                  c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;}
             else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) {
                  c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;}
             else 
                 { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; }
             }
         out<<c[m][n]<<endl;
}

其中，需要两个二维数组，一个c,代表最优的长度；另一个是b，代表的取出这个最优解的方式是哪一种

5、算法改进：可以不用数组b来计算怎么得到的，可以通过c:

（1）如果一个数上左和它都相等，就选择上一个

（2）如果一个数比上左其中一个大，和另一个相等，就选择性等的那个

（3）如果他比上左都小，就选择左上角的那个

如果选择公共子序列的时候只选择倾斜着达到的字母

四、流水作业调度

1、两个机器的情况：

（1）m1总是一个接一个的

（2）m2有两种情况

①空闲：