前言
典例剖析
法1：原函数可以转化为\(y=x+\sqrt{2-(x-5)^2}\)，
由于\(2-(x-5)^2\geqslant 0\)，得到\(|x-5|\leqslant \sqrt{2}\)，
令\(x-5=\sqrt{2}cos\alpha\)，则\(\alpha\in [0,\pi]\)，且\(x=\sqrt{2}cos\alpha+5\),
则\(y=x+\sqrt{2-(x-5)^2}=\sqrt{2}cos\alpha+5+\sqrt{2sin^2\alpha}\)
\(=\sqrt{2}cos\alpha+5+\sqrt{2}sin\alpha=2sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})+5\)
由于\(\alpha\in [0,\pi]\)，则\(sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})\in [-\cfrac{\sqrt{2}}{2},1]\)
故\(y_{min}=5-\sqrt{2}\)，\(y_{max}=7\)，
解后反思：为什么想到法1，请对照上述例5中的两个函数，
求函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\)的值域；
求函数\(f(x)=x-\sqrt{2-x^2}\)的值域；
求函数\(y=x+\sqrt{2-(x-5)^2}\)的值域；
法2：令\(-x^2+10x-23\geqslant 0\)，得到函数的定义域为\([5-\sqrt{2}，5+\sqrt{2}]\)，
又由于\(y=-x^2+10x-23=-(x-5)^2+2\)，故原函数必然在区间\([5-\sqrt{2},5]\)上单调递增，甚至能延伸到区间\([5-\sqrt{2},x_0]\)，\(x_0>5\)，在区间\([x_0,5+\sqrt{2}]\)上单调递减，
故其最小值必然\(f(x)_{min}=min\{f(5-\sqrt{2})，f(5+\sqrt{2})\}\)，又\(f(5-\sqrt{2})=5-\sqrt{2}\)，\(f(5+\sqrt{2})=5+\sqrt{2}\)，
故\(f(x)_{min}=5-\sqrt{2}\).
分析：借助平面内两点间距离公式，将函数转化为\(y=\sqrt{(x-0)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(0-5)^2}\)，
所给函数可以看作是点\(P(x，y)\)到两定点\(A(0，3)\)和\(B(4，5)\)的距离之和，即在\(x\)轴上求一点\(P\)，使之到\(x\)轴同侧两点\(A\)，\(B\)的距离之和最小，
又\(A\)点关于\(x\)轴的对称点\(A'(0，-3)\)，故\(|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|\geqslant |A'B|=4\sqrt{5}\)，故所求最小值为\(4\sqrt{5}\)。
法1：代数换元法，先求定义域为\((-\infty，2]\)，
令\(\sqrt{2-x}=t\ge 0\)，则\(x=2-t^2\)，故原函数可以转化为
\(f(x)=g(t)=2-t^2-t(t\ge0)=2-(t^2+t+\cfrac{1}{4})-\cfrac{1}{4}=\cfrac{9}{4}-(t+\cfrac{1}{2})^2\)，
故在\([0，+\infty)\)上单调递减，
\(f(x)_{max}=g(t)_{max}=g(0)=2\)，故值域为\((-\infty，2]\)；
法2：利用单调性，直接从函数解析式分析，
函数\(f(x)=x-\sqrt{2-x}\)在定义域\((-\infty，2]\)上单调递增，故\(f(x)_{max}=f(2)=2\)。
解后反思：
对于形如\(f(x)=ax+b\pm \sqrt{cx+d}\)型的函数求值域，用代数换元法总能将其转化为二次函数在限定区间上的值域问题，
因此法1是通用方法；而法2的适用性有一定的限制。
分析：求定义域得到\(x\in[-1，1]\)，故做三角换元令\(x=cos\theta,\theta\in[0，\pi]\)，
则函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}=cos\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}\)
\(=cos\theta+|sin\theta|=sin\theta+cos\theta\)
\(=\sqrt{2}sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[-1，\sqrt{2}]\)，
故函数的值域为\([-1，\sqrt{2}]\)。
引申思考：
1、换元法特别需要注意的是旧元\(x\)和新元\(\theta\)的取值范围要一致，否则换元就会出错，那么本题中引入新元\(\theta\)后，其取值范围能不能是\([-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)？不能，否则\(cos\theta\in [0，1]\)，和\(x\in[-1，1]\)的取值范围不一致了。
2、那么取值范围能不能是\([0，2\pi]\)？此时虽然能保证\(cos\theta\in [-1，1]\)，但是下一步在开方去绝对值时就麻烦了，\(\sqrt{1-cos^2\theta}=|sin\theta|\)还需要分类讨论，这样反到复杂了，由此我们也就能更好的理解\(\theta\in[0，\pi]\)的用意，由此可知我们的三角换元是很讲究的，绝不是随心所欲的。
3、能不能这样换元令\(x=sin\theta\)？可以的，不过若这样换元，新元的范围就应该是\(\theta\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，或者\(\theta\in[\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{3\pi}{2}]\)。
4、你会用这个方法求函数\(f(x)=x-\sqrt{2-x^2}\)的值域吗？
提示：定义域为\(x\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)，故令\(x=\sqrt{2}cos\theta\)，且\(\theta\in [0，\pi]\)，
那么原函数转化为\(f(x)=x-\sqrt{2-x^2}=\sqrt{2}cos\theta-\sqrt{2}sin\theta=2cos(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in [-2，\sqrt{2}]\)。
5、你能将这一方法适用的类型做以总结提炼吗？
一般来说，适用于这样的类型：\(f(x)=ax+b\pm \sqrt{c+dx^2}\)型，其中\(a，b，c，d\in R，c\cdot d<0\)。