莱布尼兹命题9 《几何原本》公理2和亚里士多德的“相同”
-逻辑与算法之十三
在莱布尼兹的片断20中，从命题9开始，对命题的证明都辅之以几何图形。无论如何抽象的几何图形，也比纯粹文字的表述更容易为人理解。在759中曾给出过片断20命题3的文字证明，本篇再给出片断20中，逻辑加交换律命题1的文字证明。然后，则仅给出有辅助图形的命题9及其证明。
这个思路是一个未曾预料到的转换，原本想一个一个命题联袂而出，命题9，10，11.﹍﹍等等。但关于“相同”的一些经典描述突然间跳入脑际，让我从莱布尼兹一下子想到了古希腊。几何原本的公理，还有亚里士多德的工具论，如同智慧精灵般，从天际之外飘落我心，落进我对莱布尼兹命题9的思绪之中。
思考莱布尼兹普遍演算中的“相同”观，把我带回到欧几里得的《几何原本》，你再从欧几里得的希腊时代回望亚里士多德。你会发现，莱布尼兹这个普遍语句演算的逻辑加，原来有它深深的古希腊之根。
命题1：若A=B，那么B=A
如果任意物和另一物相同，那么，另一物也和那个任意物相同。
证明：
1.因为A=B，（依据假设真）
2.那就可以推出，陈述A=B中的B可以用A来替换，同理，陈述A=B中的A可以用B来替换。（根据定义1，相同的定义）
所以，我们有B=A
证毕。
我们跨过有关相同和逻辑加的前8个命题证明，来看有辅助图形的命题9。片断20定义6之下，从命题5开始，全都是关于逻辑加的一类命题，从命题9开始，文字证明之后，总带有图形辅证。
命题9：如果A=B，那么A⊕C=B⊕C。
如果互为相同的两个词项，逻辑加上同样的词项，结果依然相同。
证明：
1.A⊕C=A⊕C。（依据自身同一法则）
2.A=B。（依据已知假设）
3.所以我们可以用B替换等式1.中右边的A。（依据定义1）
由此我们有：
A⊕C=B⊕C
证毕。
使用文字的例子来说明命题9的证明：
A表示词项“三角形”，B表示词项“三边形”，C表示词项“等边形”，
自然“等边三角形=等角三角形”
使用几何图形来说明命题9的证明：
RS线段可以表示为A，也可以表示为B，自然，增加同样的线段SX=C，形成的线段RX就既是A⊕C，也是B⊕C。也就是：
A⊕C=B⊕C
把莱布尼兹的这个逻辑加命题证明和几何原本相比较，它不就是《几何原本》第一卷中那个公理2的继承么？
原本中的“公理2：等量加等量，其和仍相等。”（《几何原本》李采菊中译本第3页）
这个几何原本中的公理2，简直就是说明命题9成立的公理。
所以，从莱布尼兹的逻辑加法中，我们非常明显地看到《几何原本》的影子。
继续回溯到亚里士多德，在亚里士多德《工具论》的《论题篇》第一卷第七章，亚里士多德专门讨论到“相同”。
亚里士多德的在《论题篇》讨论词项的定义时指出，要给这些被定义的词项勾画出问题的分野，把词项自然地归属于某些特殊部门或者说某些种类。接着，他就谈到了相同：
“首先，我们要明确‘相同’这个词具有几种意义。大致地说：一般被认为有三种意义，即从数目方面或特殊方面或种类方面去使用这个名辞。所谓从数目方面，是指只有一个事物但名辞众多的情况，例如‘紧身上衣’和‘披风’，所谓从特殊方面，是指一个以上事物，但它们在种的方面没有区别，如一个人和另一个人，或一匹马和另一匹马：象这样属于同一种的，就叫做‘特殊方面相同’。同样地，那些属于同一类的事物，叫做‘种类方面相同’，比如马和人。”（《工具论.论题篇》，李匡武中译本第271-272页）
这个称作“相同”的词项，在亚里士多德那里，给它予以了词义分析，亚里士多德如此之早的首先指出“相同”的数量特性，大概能够表明亚氏所在的那个时代，人们对于数学的看重。而其后出现的《几何原本》，则在对“相同”的理解上提升到几何公理的位置，该公理的“等量”不就是从数目角度来看“相同”的么？而显然一点的是，几何原本中的这个公理2，等量加等量，其和仍相等，这里的加法指谓的只能是算术加。
这两位智者关于相同的思考和结论，一个可能的猜测也许成立。莱布尼兹在欧几里得的著作里理解到这种有关“数量相同”的算术加，又在亚里士多德那里理解到有关“词项相同”的数目意义，从而产生“逻辑加”这样一种迁延性地创新，这同时也在预示着，一个新的逻辑，不同于亚里士多德的逻辑，在17世纪就出现了雏形。2019/11/25
来源：CSDN
作者：weixin_41670255
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