高级数据结构——线段树总结
本蒟蒻最近在做线段树的题，做了一小部分，有感而发，故写下这篇博客，如有错误，请大佬指出。
线段树，作为一种高级数据结构，而其作用与分块、树状数组均有一脉相承的部分，而且有的题均可以使用上面的两种算法去解决（当然只是一部分题）
对于线段树的介绍，我也就不再多说了，即对于数列将其放在树上进行维护一些值，在题目的要求下进行修改和更新，最后得到答案。
首先我们先上一两道模板题
1、洛谷P3372线段树1（加操作）
这是一道十分经典的线段树模板，当然他的解法也有其他方法，（十分重要）。
下面是代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=5e6+8;
using namespace std;
ll n,m,tag[N],ans[N],a[N];
ll ls(ll x){
return x<<1;
}//左儿子扩展 （x*2)
ll rs(ll x){
return x<<1|1;
}//右儿子扩展（x*2+1）
void up(ll x){
ans[x]=ans[ls(x)]+ans[rs(x)];
}// 求出当前点的总和值
void build(ll l,ll r,ll p){
if(l==r){
ans[p]=a[l];
return;
}
ll mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,ls(p));//左儿子建树
build(mid+1,r,rs(p));//右儿子建树
up(p);//进行整合
}
void f(ll l,ll r,ll p,ll k){//k是懒（延迟）标记的数值
tag[p]+=k;
ans[p]+=(r-l+1)*k;
}//tag[]懒标记点。
void down(ll l,ll r,ll p){
ll mid=(l+r)>>1;
f(l,mid,ls(p),tag[p]);//左传
f(mid+1,r,rs(p),tag[p]);//右传
tag[p]=0;//懒标记传递结束，清零
}
void xg(ll xl,ll xr,ll l,ll r,ll p,ll k){//修改操作
if(l>=xl&&xr>=r){//当前区间被所查询的区间包含
ans[p]+=(r-l+1)*k;
tag[p]+=k;
return ;
}
down(l,r,p);//懒坐标传递
ll mid=(l+r)>>1;
if(xl<=mid){
xg(xl,xr,l,mid,ls(p),k);
}
if(xr>mid){
xg(xl,xr,mid+1,r,rs(p),k);
}
up(p);//更新该节点
}
ll query(ll gl,ll gr,ll l,ll r,ll p){
ll an=0;
if(gl<=l&&gr>=r){
return ans[p];
}
ll mid=(l+r)>>1;
down(l,r,p);
if(gl<=mid){
an+=query(gl,gr,l,mid,ls(p));
}
if(gr>mid){
an+=query(gl,gr,mid+1,r,rs(p));
}
return an;
}
ll fl,x,y,z;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d",&fl);
if(fl==1){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
xg(x,y,1,n,1,z);
}
if(fl==2){
scanf("%lld%lld",&x,&y);
printf("%lld\n",query(x,y,1,n,1));
}
}
return 0;
}
下一道模板题：
2、洛谷P3373线段树2（加乘操作）
这道题与上一道题同理，up和down的部分需要修改一下即可。（再给大家一道双倍经验题（P2023 [AHOI2009]维护序列）
下面就是代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e6+7;
ll ans[N],a[N],at[N],ml[N];
ll fl,n,m,P,x,y,z;
ll ls(ll x){
return x<<1;
}
ll rs(ll x){
return x<<1|1;
}
void up(ll p){
ans[p]=(ans[ls(p)]+ans[rs(p)])%P;
}
void build(ll l,ll r,ll p){
at[p]=0;
ml[p]=1;
if(l==r){
ans[p]=a[l];
return;
}
ll mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,ls(p));
build(mid+1,r,rs(p));
up(p);
}
void down(ll l,ll r,ll p){
ml[ls(p)]=(ml[ls(p)]*ml[p])%P;
ml[rs(p)]=(ml[rs(p)]*ml[p])%P;
at[ls(p)]=(at[ls(p)]*ml[p])%P;
at[rs(p)]=(at[rs(p)]*ml[p])%P;
ans[ls(p)]=(ans[ls(p)]*ml[p])%P;
ans[rs(p)]=(ans[rs(p)]*ml[p])%P;
ml[p]=1;//乘懒标记传递完成，清零处理，乘法优先于加法，所以先计算乘法再计算加法
ll mid=(l+r)>>1;
at[ls(p)]=(at[ls(p)]+at[p])%P;
at[rs(p)]=(at[rs(p)]+at[p])%P;
ans[ls(p)]=(ans[ls(p)]+(mid-l+1)*at[p])%P;
ans[rs(p)]=(ans[rs(p)]+(r-mid)*at[p])%P;
at[p]=0;
}
void xg(ll gl,ll gr,ll l,ll r,ll p,ll k){
if(l>=gl&&gr>=r){
at[p]=(k+at[p])%P;
ans[p]=((r-l+1)*k+ans[p])%P;
return ;
}
down(l,r,p);
ll mid=(l+r)>>1;
if(gl<=mid){
xg(gl,gr,l,mid,ls(p),k);
}
if(gr>mid){
xg(gl,gr,mid+1,r,rs(p),k);
}
up(p);
}//修改+；
void ch(ll cl,ll cr,ll l,ll r,ll p,ll k){
if(l>=cl&&r<=cr){
ml[p]=(ml[p]*k)%P;
at[p]=(at[p]*k)%P;
ans[p]=(ans[p]*k)%P;
return ;
}
down(l,r,p);
ll mid=(l+r)>>1;
if(cl<=mid){
ch(cl,cr,l,mid,ls(p),k);
}
if(cr>mid){
ch(cl,cr,mid+1,r,rs(p),k);
}
up(p);
}//修改*;
ll query(ll al,ll ar,ll l,ll r,ll p){
ll an=0;
if(al<=l&&ar>=r){
return ans[p]%P;
}
down(l,r,p);
ll mid=(l+r)>>1;
if(al<=mid){
an=an+query(al,ar,l,mid,ls(p));
}
if(ar>mid){
an=an+query(al,ar,mid+1,r,rs(p));
}
return an%P;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,/*&m,*/&P);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
sacnf("%lld",&m);
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%lld",&fl);
if(fl==1){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
ch(x,y,1,n,1,z);
}
if(fl==2){
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
xg(x,y,1,n,1,z);
}
if(fl==3){
scanf("%lld%lld",&x,&y);
printf("%lld\n",(query(x,y,1,n,1))%P);
}
}
return 0;
}
当你写完这两三道模板题之后那么恭喜你，你已经线段树入门了。
下面，就是对于线段树的进一步的运用。
使用线段树维护方差，平均数等操作
3、P1471 方差
这道题的题面我就不再进行粘贴，具体的意思大概如下：
给定一个数列，其中有三个操作，
1、将L到R的区间内的数加上k。
2、查询L到R区间的平均数。
3、查询L到R区间的方差。
我表示这道题第一开始看的时候对于操作1，2基本就是十分木板的操作，但是当我看到第三个操作时，我有点蒙。
但是，将方差的公式进行展开，就可以得到一个十分明晰的思路
\[
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2} &=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-2 x_{i} \overline{x}+\overline{x}^{2}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+n \overline{x}^{2}-2 \overline{x} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+n \overline{x}^{2}-2 \overline{x} \cdot n \overline{x} \\ &=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\overline{n} \overline{x}^{2} \end{aligned}
\]
最后我们再将这个公式除上n得到最终的式子，这样我们就有了初步的思路，维护这个序列的两个值一个是序列和，一个是序列的平方和。这样我们就可以得到我们所求的答案。
现在我们来考虑如何使用线段树来维护平方和。
我们首先将平方和的公式展开
\[
(x+k)^{2}=x^{2}+2 k x+k^{2}
\]
我们可以知道这样就可以维护平方和：
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-'){
f=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
struct node{
int l,r,siz;
double ave,sum,tag;
}t[N];
int n,m;
double a[N];
inline int ls(int x){return x<<1;}
inline int rs(int x){return x<<1|1;}
inline void upd(int x){
t[x].ave=t[ls(x)].ave+t[rs(x)].ave;
t[x].sum=(t[ls(x)].sum+t[rs(x)].sum);
}
inline void build(int l,int r,int x){
// cout<<1;
t[x].l=l,t[x].r=r,t[x].siz=r-l+1;
if(l==r){
t[x].ave=a[l];
t[x].sum=a[l]*a[l];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,ls(x));
build(mid+1,r,rs(x));
upd(x);
}
inline void pushdown(int x){
if(!t[x].tag) return;
t[ls(x)].tag+=t[x].tag;
t[rs(x)].tag+=t[x].tag;
t[ls(x)].sum+=(2.0*t[ls(x)].ave*t[x].tag+t[ls(x)].siz*t[x].tag*t[x].tag);//维护平方和
t[rs(x)].sum+=(2.0*t[rs(x)].ave*t[x].tag+t[rs(x)].siz*t[x].tag*t[x].tag);
t[ls(x)].ave+=t[x].tag*t[ls(x)].siz;
t[rs(x)].ave+=t[x].tag*t[rs(x)].siz;
t[x].tag=0;
return ;
}
inline void add(int l,int r,int x,double k){
if(t[x].l>=l&&t[x].r<=r){
t[x].sum+=(2.0*t[x].ave*k+t[x].siz*k*k);
t[x].ave+=k*t[x].siz;
t[x].tag+=k;
return ;
}
pushdown(x);
int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
if(l<=mid){
add(l,r,ls(x),k);
}
if(r>mid){
add(l,r,rs(x),k);
}
upd(x);
}
inline double query(int l,int r,int x,bool flag){
if(t[x].l>=l&&t[x].r<=r){
if(flag==1){
return t[x].ave;}
else return t[x].sum;
}
pushdown(x);
int mid=(t[x].l+t[x].r)>>1;
double res=0;
if(l<=mid){
res+=query(l,r,ls(x),flag);
}
if(r>mid){
res+=query(l,r,rs(x),flag);
}
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf",&a[i]);
}
build(1,n,1);
while(m--){
int op,l,r;
double k;
double ans1,ans2;
op=read();
if(op==1){
scanf("%d%d%lf",&l,&r,&k);
add(l,r,1,k);
}
if(op==2){
scanf("%d%d",&l,&r);
ans1=query(l,r,1,1);
printf("%.4lf",(double)ans1/(r-l+1));
puts("");
}
if(op==3){
scanf("%d%d",&l,&r);
ans1=query(l,r,1,1);
ans2=query(l,r,1,0);
printf("%.4lf",(double)ans2/(r-l+1)-ans1/(r-l+1)*ans1/(r-l+1));
puts("");
}
}
return 0;
}
值得注意的是这道题的题目要求是实数范围内，所以千万千万不要忘掉使用，
double（手动滑稽）
这就是线段树去维护不同值的一个十分好的题，也十分的考验思维。
下面，我们看下一题，一道维护0/1序列的题。
因为时间原因，所以就先写到这里，表示一定不会咕掉的（心虚），明天再更。