叶子结点

哈夫曼树(一)之 C语言详解 本章介绍哈夫曼树。和以往一样，本文会先对哈夫曼树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理如出一辙，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请帮忙指出！ 目录 1 . 哈夫曼树的介绍 2 . 哈夫曼树的图文解析 3 . 哈夫曼树的基本操作 4 . 哈夫曼树的完整源码 转载请注明出处： http://www.cnblogs.com/skywang12345/ 更多内容： 数据结构与算法系列 目录 哈夫曼树的介绍 Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。 定义 ：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。 (01) 路径和路径长度 定义 ：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 例子 ：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。 (02) 结点的权及带权路径长度 定义 ：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权

在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN) 树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如 JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树， 是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点 的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度 为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln) ，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径 长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。 哈夫曼编码步骤： 一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。） 二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。 三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。 四、重复二和三两步

在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN) 树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如 JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树， 是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点 的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度 为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln) ，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径 长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。 哈夫曼编码步骤： 一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。） 二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。 三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。 四、重复二和三两步

哈夫曼树(Huffman)树又称最优二叉树,是指对于一组带有确定权值的叶子结点所构造的具有带权路径长度最短的二叉树。从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成了两结点之间的路径，路径上的分支个数称为路径长度。二叉树的路径长度是指由根结点到所有叶子结点的路径长度之和。如果二叉树中的叶子结点都有一定的权值，则可将这一概念拓展:设二叉树具有n个带权值的叶子结点,则从根结点到每一个叶子结点的路径长度与该叶子结点权值的乘积之和称为二叉树路径长度,记做： WPL=W1L1+W2L2+......+WnLn; 其中：n为二叉树中叶子结点的个数；Wk为第k个叶子的权值;Lk为第k个叶子结点的路径长度。 若给定n个权值，如何构造一棵具有n个给定权值叶子结点的二叉树，使得其带权路径长度WPL最小？哈夫曼根据"权值大的结点尽量靠近根"这一原则，给出了一个带有一般规律的算法，称为"哈夫曼"算法，哈夫曼算法如下： (1)根据给定n个权值{w1,w2,....,wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2,.....,Tn};其中,每棵二叉树Ti(1<=i<=n)只有一个带权值wi的根结点,其左、右子树均为空。 (2)在F中选取两棵根结点权值最小的二叉树作为左、右子树来构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树根结点权值为其左右子树根结点的权值之和。 (3)在F中删除这两棵树,同时将生成新的二叉树加入到F中。 (4)重复

1、哈夫曼树的基本概念 ---- 哈夫曼（Huffman）树又称作最优二叉树，它是n个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度最小的二叉树。 ---- “路径”就是从树中的一个结点到另一个结点之间的分支构成的部分，而分支的数目就是路径长度。 ---- 树的路径长度：就是从树根到每一结点的路径长度之和。 ---- 考虑带权的结点，结点的带权路径长度为：从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。 ---- 树的带权路径长度WPL(weighted path length)：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。 假设一个有n个带权叶子结点的二叉树，其权值为{w1,w2,....wn}，每个叶子结点带权wk，每个叶子的路径长度为 lk，则从根结点 到各个叶子结点的路径长度与相应的权值的乘积之和叫做二叉树的带权路径长度，通常记作： 如下图所示是由4个叶子结点构成的三棵不同的带权二叉树： 三棵二叉树的带权路径长度为： （a）WPL=9x2+4x2+5x2+2x2=18+8+10+4=40 （b）WPL=9x1+5x2+4x3+2x3=9+10+12+6=37 （c）WPL=4x1+2x2+5x3+9x3=4+4+15+27=50 其中（b）所示的二叉树的WPL最小，此树是哈夫曼树。由上图可知：由n个带权叶子结点所构成的二叉树中，满二叉树或完全二叉树 不一定是最优二叉树

在这里主要回顾一下： 哈夫曼树 、 带权路径的计算 、 哈夫曼树的构造java实现 、 以及哈弗曼编码应用 相关定义： 哈夫曼树（Huffman tree）： 又称最优二叉树，就是给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树， 若带权路径长度达到最小 ，则就称为哈夫曼树。 权值： 哈夫曼树的权值是自己定义的，他的物理意义表示数据出现的次数、频率。可以用树的每个结点数据域data存放一个特定的数表示它的值。 路径长度： 在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1，这有点像我们楼层的定义，一楼和二楼的楼层距离是1。 结点的带权路径长度为： 从根结点到该结点之间的 路径长度 与 该结点的权值 的 乘积 。 树中所有叶子节点的带权路径长度之和，WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)。 图解： 哈夫曼树构造过程： 假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为： (1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)，按照权值排序； (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和

http://sjjg.js.zwu.edu.cn/SFXX/shu/shu4.6.2.html 1. 哈夫曼树的基本概念 　　哈夫曼树（ Huffman ）又称最优二叉树，是一类带权路径长度最短的树，有着广泛的应用。 　　在讨论哈夫曼树之前首先需要弄清楚关于路径和路径长度的概念。树中两个结点之间的路径由一个结点到另一结点的分支构成。两结点之间的路径长度是路径上分支的数目。树的路径长度是从根结点到每一个结点的路径长度之和。 　　设一棵二叉树有 n 个叶子结点，每个叶子结点拥有一个权值Ｗ 1 ，Ｗ 2 ， ...... Ｗ n ，从根结点到每个叶子结点的路径长度分别为 L1 ， L2......Ln ，那么树的带权路径长度为每个叶子的路径长度与该叶子权值乘积之各。通常记作 WPL ＝ Ｌ k. Ｗ k 。为了直观其见，在图中把带权的叶子结点画成方形，其他非叶子结点仍为圆形。请看图 6.21 中的三棵二叉树以及它们的带权路径长。 (a) wpl=38 (b) wpl=49 (c) wpl=36 图 6.21 具有不同带权路径长度的二叉树 注意: 这三棵二叉树叶子结点数相同，它们的权值也相同，但是它们的 wpl 带权路径长各不相同。图 6.21(c)wpl 最小。它就是哈曼树，最优树。哈夫曼树是，在具有同一组权值的叶子结点的不同二叉树中，带权路径长度最短的树。也称最优树。 2.

Hello，各位小伙伴大家好，我是小栈君，今天给大家带来的分享是关于关于二叉树相关的知识点，并用go语言实现一个二叉树和对二叉树进行遍历。 我们主要针对二叉树的概念，go实战实现二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历。 二叉树概念 在计算机科学领域内，二叉树代表的是具有两个节点的树形结构，通常子树被称作为“左子树”，右边的被称作为“右子树”。二叉树通常的应用于实现二叉查找树和二叉堆。 例如上述图片中，我们就制定了一个二叉树，其中d、e、f称作a树的叶子节点。 [叶子结点是离散数学中的概念。一棵树当中没有子结点（即度为0）的结点称为叶子结点，简称“叶子”。 叶子是指出度为0的结点，又称为终端结点] b和c 作为树a的孩子结点，b和a因为作为一个根a的孩子，所以他们的称呼为兄弟结点。其实总结一点就是关于二叉树各个结点的称呼其实和我们在家庭中，对于各个亲戚长辈的称呼类似。 在百度百科中也归纳除了关于二叉树的分类 一棵深度为k，且有2^k-1个结点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且或者最后一层是满的，或者是在右边缺少连续若干结点，则此二叉树为完全二叉树。 具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log2n) 1。深度为k的完全二叉树，至少有2k-1个叶子结点，至多有2k-1个结点。

前言 终于是学完了线段树!根据多为dalao的博客以及 悉心 教导,终于掌握了一些基本的应用~ 但是问题是:刚刚接触的朋友们甚至都不明白什么是线段树,所以更加不会写代码咯( 蠢问题! ) 所以先来扯一下线段树是一个什么样的东西呗: 如果实在看不懂的话,可以直接去 ① dalao博客 ② 学姐博客! (Ps:这是两种不同方法哦,讲真会一种比较不错了哈~) 不容置疑,线段树是一种数据结构,数据结构在我看来就是优化的一种方式咯. 引例: 给出n个数,n<= 一个数, 和m个询问,每次询问区间[l,r]的和,并输出. 一般思路，先暴力。就挨个枚举呗。可是当 这个数 很大的时候呢,就容易超时.这时我们就需要想一个数据结构来优化我们的算法咯. 所以就出现了线段树这个 鬼东西 . 一.概念: 什么是线段树呢?通俗易懂!!! 不就是说在一棵树上存着线段咯 .(大概这样比较好理解?) 其实线段树是一棵二叉搜索树. 以前我们树上的每一个结点存的是当前结点的权值,但是现在,我们的每一个结点上存的是 每一个区间 的 信息 (注意:这个信息可以是多种多样的!譬如可以是当前区间之内的权值之和, 之差(我才不会说我不会之差) ,最大值,最小值等等一系列 恶心人的东西 ) 1)线段树是一个 高效 处理 动态区间 的查询问题. 2)主要思想:二分. (较为模板?) 3)每个节点以结构体的方式存储

说起Mysql就离不开SQL优化，说起优化就离不开索引，那么什么是索引？为什么加了索引就可以快？那接下来我们就一起来探讨一下索引相关的知识！ 一、数据结构中常见的索引 【对这块数据结构了解的同学建议跳过本节】 1.二叉树 说起二叉树，我们都知道每个结点最多只能有两个子结点，例如： 可以发现二叉树很有规律，左子结点小于当前结点，右子结点大于当前结点。那这样不是查询起来很方便呢？二叉树的性质决定了它的时间复杂度为 Olog(n)，当然，二叉树的时间复杂度与它的插入顺序有着，如果按升序或降序的方式插入数据，那么它的二叉树的高度h就与结点个数相等了，此时复杂度就提高到了O(n)。 假如，数据库使用二叉树来做索引，此时需要插入1000条数据，我们来计算一下这树的高度。（深度为k的二叉树最少有k个结点，最多有2^k-1个结点） 2^10-1 ≈ 1000 此时树的高度约为10 最差的情况，树的高度为1000 树的高度决定了查询的效率，而二叉树又会存在高度10~1000这么大的差距，很明显它已经不适合做我们的索引了！ 2.平衡树 前面把问题摆出来了，二叉树的高度很不稳定，那我们能不能把高度稳定一下呢？这就是平衡树，它会根据插入的情况，动态的调整二叉树的高度（ 左右子树的高度最多差1 ），比如：我们插入从10，9，8，，，1 看，我没有骗你吧，它会根据插入的情况调整树的高度，具体怎么调整的