线性代数

受《理解线性代数》启发，结合自身学习的经验，直观的总结我对线性代数的理解。强调直观是因为在这里不纠缠于数学的严谨性，所以如果追求数学严谨性和证明的还是去看教材比较好。 统计的目标是对数表内各种数据进行挖掘从而找出隐含其中的关系，线性代数为统计提供了对数表的表达方式和对数表进行处理的工具。 在初等数学中我们学过函数，用来表示的数据之间一种确定的关系，给定x一定能算出唯一的y。但现实中我们遇到的数据可就没有那么明确的联系了，我们不知道谁和谁有联系，甚至不知道是不是存在联系。因此我们急需一种框架来帮助我们处理这些”不好看”的数据。统计就是为了处理数据而生的，它的目标即挖掘出数据之间的联系，从而抽象出数学模型来做解释或预测。 先来扯句题外话，我们知道数学的本质是抽象。那究竟什么是抽象？抽象就是从不同个体中找相同，这些相同也就是规律和关系。初等数学中学到的函数关系就是一种规律，无论x到底是什么值，它和y之间都存在这样的规律。这也是为什么说数学模型都是错的，但却是有用的原因。抽象忽略了个体差异，只留相同点，利用相同点我们能处理满足此相同点的任何差异个体。 言归正传。回忆下中学解析几何或者大学微积分时我们是如何处理数据的: 我们会把函数f(x)映射到欧几里得空间内笛卡尔坐标系做visualization。在代数上对函数的操作等价于对欧几里得空间中相应函数图像做操作。函数是确定的关系

线性代数究竟有什么现实意义？矩阵又是什么呢？矩阵之间的运算是代表什么呢？很多人在学校修完线性代数依旧不明白这些问题，所以，我觉得，应该从理解其本质出发，再去学习这门课。 这里仅提供几个理解线性代数本质的文章或回答。博主反复看过好几遍，加深平常学习中对矩阵的理解。 本文仅供学习参考，如有侵权或疑问，请联系博主。 线性代数的本质 https://www.52ml.net/13425.html 如何理解代数中的伴随矩阵？ https://www.zhihu.com/question/39334410 奇异矩阵 http://open.163.com/movie/2011/6/S/P/M82ICR1D9_M83C92ISP.html 如何理解矩阵的「秩」？ https://www.zhihu.com/question/21605094 来源： CSDN 作者： 王弗兰克 链接： https://blog.csdn.net/whfshuaisi/article/details/69265663

目录 线性组合 线性空间 基底 线性组合 线性组合就是关于 向量的加法和向量的数乘 的组合运算，即： a u ⃗ + b v ⃗ a u → + b v → //--> 线性空间 线性空间就是，若干个向量通过线性组合所得到的一个集合。 以下用两个向量的线性组合为例，更多的向量也可类推。 1. u ⃗ , v ⃗ 两 向 量 不 共 线 . u → , v → 两 向 量 不 共 线 . //--> 则两向量的线性组合 a u ⃗ + b v ⃗ a u → + b v → //--> 可以得到二维平面内任意的向量，即： a u ⃗ + b v ⃗ a u → + b v → //--> 得到的集合是一个二维平面。 u ⃗ , v ⃗ 两 向 量 共 线 . u → , v → 两 向 量 共 线 . //--> 则两向量的线性组合 a u ⃗ + b v ⃗ a u → + b v → //--> 可以得到 v ⃗ v → //--> 所在直线上的任意的向量，即所得到的集合时一条直线。 u ⃗ , v ⃗ 两 向 量 为 0 ⃗ . u → , v → 两 向 量 为 0 → . //--> 则两向量的线性组合 a u ⃗ + b v ⃗ , a u → + b v → , //--> 只能得到 0 ⃗ 0 → //--> ，即所得集合始终为一个点。 将第一种情况，称为 线性无关

无法理解线性代数的原因有很多，本文主要来讲讲各大高校使用的主流教材同济大学版的《线性代数》的问题。 之前写过一篇 无法理解高等数学怎么办 的文章，对同济大学版的《高等数学》教材进行过一些评论，认为这本教授微积分的主流教材的问题在于坡度太陡了，但逻辑主线是没有问题的，所以我们在创作 《马同学单变量微积分》 内容时基本上还能和此书的目录结构保持一致。 但同济大学版的《线性代数》问题就很大了，随便摘选下 豆瓣的书评 ： 这本同济大学版的《线性代数》担得起“误人子弟”这四个字，根子上就有问题，拿着这本书学不好也情有可原。我们在创作 《马同学线性代数》 内容时，虽然目标是覆盖同济大学版的《线性代数》，但迫不得已对逻辑结构、目录结构进行了大规模的调整。 下面来具体讲讲同济大学版的《线性代数》问题出在哪里吧。 1 线性代数的大致内容 1.1 向量、矩阵、行列式 先简单介绍下线性代数讲的是什么内容。一个立方体、一根直线、一个平面都是线性的： 用向量就可以表示它们，比如说下图就展示了可以用三个向量 、 、 以及向量的加减法就可以表示一个立方体： 而矩阵可以对向量进行变换，比如通过旋转矩阵可以让某个正方形变换为旋转后的正方形： 而行列式代表的是矩阵变换前后的面积（体积）之比： 很显然旋转正方形不会导致面积改变，所以旋转矩阵变换前后的面积之比为1，或者说行列式为1： 至此

嗯哼哼 先说说空间是啥 就是集合 集合 集合 定义空间就是集合 所以 线性空间（向量空间）， 对数乘和向量加法封闭所组成的集合 嗯哼哼 维基百科定义 对线性空间而言，主要研究集合的描述。为了描述清楚，就引入了基的概念，所以对于一个线性空间来说，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。嗯哼哼 但是缺少“长度”的概念 所以定义的了范数 即范数的集合⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间 嗯哼哼 在其基础往下 扩展 就增加了内积的概念 其实拥有角度 （投影） 线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间 嗯哼哼 内积空间的有长度 距离 以及角度 在有限维数中其表示如下 嗯哼哼 其实有限维的内积空间就是我们说的欧式空间 无限维的内积空间 也就是我们所说的积分 只需要积分的定义域分割区间越来越小，也就是分割的区间个数越来越多，对应的就是向量的维度越来越大。 直到无穷，即后面说的傅里叶变换 继续往下扩展就是 希尔伯特空间 其就是引入了极限和完备性 空间的完备性： 间中的任何 柯西序列 都收敛在该空间之内。（柯西序列：一个柯西列或柯西数列是指这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数） 嗯哼哼 也就说柯西序列 是收敛的 而完备性有两个条件 1. 柯西序列 2.收敛还是在该空间 嗯哼哼

线性代数笔记 关于矩阵理解 reference： 矩阵理解 图片来源： b站上的教程 线性变换 所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。 比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机 选定了一个镜头位置 ，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为 换一个镜头位置 给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。 同样的，对于一个线性变换，只要你 选定一组基 ，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。 换一组基 ，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。 若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系就是相似： A = P − 1 B P A=P^{-1}BP A = P − 1 B P 那么重新来理解一下 $ Ma=b $ 等价于 M a = I b Ma=Ib M a = I b ，意思是说**

1. 一组向量由另一组向量个数更少的向量组线性表出，则该组向量线性相关 2. 矩阵与其最大无关组的关系（矩阵可由其最大无关组线性表出；矩阵与其最大无关组等价） 来源： https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/100545669

线性代数 numpy.linalg模块包含线性代数的函数, 可以求逆矩阵,求特征值,解线性方程组及求行列式 计算逆矩阵 Key_Function np.linalg.inv函数, 求出给定矩阵的逆矩阵 np.mat函数, 创建矩阵 Code import numpy as np A = np.mat("0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8") print(A) ''' [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] ''' inverse = np.linalg.inv(A) print(inverse) ''' [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] ''' print(A * inverse) ''' [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]] ''' 求解线性方程组 矩阵可以对向量进行线性变换 Key_Function np.linalg.solve函数, 求解形如Ax=b的线性方程组, 其中A为矩阵, b为一维或二维的数组, x是未知变量 np.dot函数, 计算两个数组的点积, 即内积 Code import numpy as np A = np.mat("1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9") print(A) ''' [[ 1 -2 1] [ 0 2 -8]

这部分我们从有限维扩展到无限维，在无限维空间中线性代数依然有效。首先，我们来回顾一下，我们一开始是以向量、点积和线性组合进行展开的。现在我们开始将这些基本的概念转化到无限维的情况，然后再继续深入探索。 一个向量有无限多的元素是什么意思呢？有两种答案，都非常好。 向量变成 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) ，比如 \((1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots)\) 向量变成一个函数 \(f(x)\) ，比如 \(sin \space x\) 很自然，两个无限维向量的点积是一个无限维的级数： 但是这带来了一个新问题，这个无限的和加起来会是一个有限的数字吗？这个级数收敛吗？这是有限和无限第一个并且是最大的差异。如果 \(\boldsymbol v=\boldsymbol w=(1,1,1,\cdots)\) ，和肯定不收敛，这时候 \(\boldsymbol v\cdot \boldsymbol w = \boldsymbol v \cdot \boldsymbol v=||v||^2\) ，也就是说向量的长度为无穷，我们不想要这样的向量。因为我们可以制定规则，所以我们不用包含它，这里我们只允许长度有限的向量。 向量 \(\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\cdots)\) 位于我们的有限维希尔伯特

这一部分我们关注正的矩阵，矩阵中的每个元素都大于零。一个重要的事实： 最大的特征值是正的实数，其对应的特征向量也如是 。最大的特征值控制着矩阵 \(A\) 的乘方。 假设我们用 \(A\) 连续乘以一个正的向量 \(\boldsymbol u_0=(a, 1-a)\) ， \(k\) 步后我们得到 \(A^k\boldsymbol u_0\) ，这些向量 \(\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_3,\cdots\) 会接近于一个稳定状态 \(\boldsymbol u_\infty=(0.6, 0.4)\) 。这个最终的结果不依赖于输入向量： 对每一个 \(\boldsymbol u_0\) 我们都收敛到相同的 \(\boldsymbol u_\infty\) 。稳定状态方程 \(A\boldsymbol u_\infty=\boldsymbol u_\infty\) 说明 \(\boldsymbol u_\infty\) 是对应于特征值为 1 的一个特征向量。 乘以矩阵 \(A\) 后的确不会改变 \(\boldsymbol u_\infty\) ，但这依然不能解释为什么所有的 \(\boldsymbol u_0\) 都会变成 \(\boldsymbol u_\infty\) 。让我们来看另外一个例子，它可能有一个稳定状态