数学

英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle ） 目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机，所以你能在这里上网除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式子。另外傅立叶虽然姓傅，但是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛逼的，高中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲。简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有 “波长”。于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。 No.7 1+1=2 这个公式不需要名称，不需要翻译

第一章 函数 1、实数 ​ 众所周知，数的概念充满了我们的生活空间。整数、分数和零统称为有理数。无理数在初等数学中已遇见过。如 \(\sqrt2\) 、 \(\sqrt3\) 、 \(π\) 、 \(lg5\) 等等。 ​ 一切有理数和无理数统称为实数。实数与数轴身上的点一一对应，而且充满数轴并没有空隙。由此可知，数轴上的每一个点的坐标标识某一个实数；反之，每一个实数必是数轴上某一点的坐标。 2、区间 ​ 在某些问题的讨论中，我们往往限制在一部分实数范围内考虑，为了简明地表明部分实数，这里引进区间概念。 定义：区间是介于某两个实数之间的全体实数，并称这两个实数为区间的断点。 ​ 区间又分为有限区间和无限区间两大类。 1、有限区间 （1）、开区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ,满足不等式 \(a < x < b\) 的一切实数x的全体叫做开区间，记做 \((a,b)\) . （2）、闭区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ,满足不等式 \(a ≤ x ≤ b\) 的一切实数的全体叫做闭区间，记做 \([ a,b ]\) . （3）、半开区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ，满足不等式 \(a < x ≤ b\) 或 \(a ≤ x < b\) 的一切实数x的全体叫做半开区间，分别记做 \(( a,b ]\) 和 \([ a,b)\

原文 Top Ten Greatest Equations Ever 迁移到： http://www.bdata-cap.com/newsinfo/1741403.html 本文内容 No.1 麦克斯韦方程组 No.2 欧拉方程 No.3 牛顿第二定律 No.4 毕达哥拉斯定理 No.5 薛定谔方程 No.6 波尔兹曼方程 No.7 最小作用量原理 No.8 德布罗意方程组 No.9 傅立叶变换 No.10 爱因斯坦场广义相对论方程 参考资料 2004 年 10 月，罗伯特在英国科学期刊《物理世界》让读者投票评选“最伟大的公式”，罗伯特工作在纽约州立大学石溪分校哲学系，而且是一个历史学家在布鲁克海文国家实验室，共有 120 个人进行了回应，提出了 50 种不同的方程，他还要求他们解释为什么。 不得不感叹，那些伟人耗尽一生，最终写下一个等号；更不得不感叹，在这些公式中的确看见了美，看见了上帝…… No.1 麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组（Maxwell's four equations），描述了电磁场在空间和时间上如何变化。 麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在 19 世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它由四个方程组成，从该方程组，可以推论出光波是电磁波。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程

A. B 标签： 莫比乌斯反演+杜教筛 题解： 看到这题面显然是莫比乌斯跑不了了 设$f[i]$代表$gcd$恰好为$i$的方案数 $g[i]$代表$gcd$为$i$的倍数的方案数 即 $$g[i]=\sum\limits_{i|d}f[d]$$ $$g[i]=C_{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor +k-1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor -1}$$ 莫比乌斯反演一下 $$f[i]=\sum\limits_{i|d}\mu{\frac{d}{i}}*g[d]$$ $\mu[i]$可以杜教筛求 组合数大的直接$O(k)$暴力，小的预处理即可 B. B君的回忆 标签： 矩阵乘+$BSGS$找循环节 题解： 考场上想不到矩阵乘吃枣药丸，想推通项公式结果忘了$Fibonacci$怎么推的了 推了一上午现在终于推出来了 其实难点还是在于生成函数和裂项 设$x=\sqrt{5},g[k]=\frac{1}{x}*((\frac{2}{3-x})^k-(\frac{2}{3+x})^k)$ $k==1$可以直接矩阵乘 然而$g$数组的增长速度是非常快的,所以$k>1$的情况需要每一层对某个数取模 设在模$p$意义下的循环节为$h$,那么便有 $$T^h\equiv I(mod\ p)$$ 设$V=\sqrt{p*2+1}$,$h=x*V-y$

将知识以书籍的形式来整理是比较好的选择。 　　具体思想是什么呢？ 　　聚焦一类知识，比如说泛函分析，概率论。这些分类可以借鉴当下的书籍。然后创建一个文件夹，在里面制定好各种知识结构。以后只要理解了到该知识的精髓而且有时间，就改动编辑，旨在建立一个学科思想体系。 　　对个人而言，公认的写的再好的书籍也不如把自己讲明白的书籍好。 　　这样做有几大优点： 　　1，能够在长时间下保留自己的记忆，使得之前的劳动不会白费。设想一下，如果你东记一坨，西放一堆，那么几年过去之后，你想要系统的复习之前学过的知识，那就不太容易了。 　　2，能够及时补充知识，更新具有继承性，思想具有体系性。 　　3，写word时可以让你静下心仔细想想自己有没有真正理解此知识。 　　4，参考自己写的知识，会形成反馈，迫使自己查相关的书籍解决更深的知识。 　　缺点： 　　当下会感觉到很麻烦，但是随着时间的延长，你会发现越来越爽。 　　最后我认为大多数人每天学的知识，大多数都是重复劳动。比如有一些知识之前已经了解到了，但是当时没有仔细的思考或是没有弄懂，随便找个理由给糊弄过去了，现在就是在还债。亦或是之前已经学懂了，但是系统性的东西已经忘记，只记得枝叶，不记得主干了，所谓一叶障目不知泰山，如果这时候想去找之前看过的零零散散的资料，会有一种心累的感觉。这些都是没有高效知识管理的结果。每天花一定的时间

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 思维导图不光可以使用在工作中在学习中也同样使用，有很多家长会让孩子使用思维导图对所学习的知识点进行总结归纳使用，下面是分享的四年级数学思维导图的简单漂亮画法，帮助孩子快速提升学习效率。 以下使用迅捷画图网站绘制的几款数学思维导图模板： 怎样绘制思维导图： 第一步：选择工具，新建思维导图 这里选择的是迅捷画图网站进行编辑使用，选择首页面立即体验之后进入新建文件页面，在新建页面点击思维导图选择新建空白模板即可完成新建。 第二步：搭建思维导框架，填充内容 进入在线编辑页面之后，围绕页面中心主题对思维导图框架进行搭建，根据内容多少进行选择。双击思维导图节点可以对添加需要的内容。在编辑面板的上方选择布局操作。 第三步：丰富思维导图 1.字体大小及样式：全选添加的内容，在面板上方选择字体以及字号操作，在里面选择自己喜欢的字体进行编辑使用。 2.背景颜色填充：同样在编辑面板上方进行操作，选中需要添加背景颜色的节点，之后选择背景颜色操作点击喜欢的颜色进行添加即可。 3.思维导图框架：常见思维导图为逻辑图，但是思维导图样式是有很多种的，并且根据思维导图内容来选择思维导图样式，在编辑页面中的布局操作中进行设置。 第四步：保存导出思维导图 1.绘制好的思维导图可以导出使用，先点击右上角的保存按钮，可以防止数据丢失。 2

给定两个正整数，计算这两个数的最小公倍数。 Input 输入包含多组测试数据，每组只有一行，包括两个不大于1000的正整数. Output 对于每个测试用例，给出这两个数的最小公倍数，每个实例输出一行。 Sample Input 10 14 Sample Output 70 对于这道题，其实是考一条数学概念，即A * B = 最大公约数 x 最小公倍数。 最大公约数可以通过辗转相除法，递归得到。而最小公倍数可由上公式得到。 C++代码如下： # include <iostream> # include <string> using namespace std ; int f ( int a , int b ) { if ( b == 0 ) return a ; else return f ( b , a % b ) ; } int main ( ) { int a , b ; while ( cin >> a >> b ) { cout << a * b / f ( a , b ) << endl ; } } 来源： CSDN 作者： 秋刀. 链接： https://blog.csdn.net/qq_44953321/article/details/103856480

【导数】是用来分析变化的。 导数有什么用？ 导数是用来分析变化的。 以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。 曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。 综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。 导数是什么 用下面的图来说明导数是什么 某一点的斜率和瞬间斜率 课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。 前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。 ​ 过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。 ​ 以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。 ​

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N>0）。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。 1、以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN(N>0) 2、e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一 3、ln 即自然对数 ln a=loge a.以e为底数的对数通常用于ln 4、当自然对数lnN 中N为连续自变量时，称为对数函数，记作y=lnx（x>0）（x为自变量，y为因变量） 例如：lne=1 来源： https://www.cnblogs.com/sunny1901/p/12152277.html

　　从航海到攀岩，从建筑到机械，许多活动都离不开给绳索打结。然而，结有很多不同的种类，有的绳结比其他的更牢固。比如经验老道的水手知道当要把一张床单固定在前桅上时该打什么结，要把船拴在桩子上时又该打什么结。 　　那么，为什么有的绳结更牢固，而有的却很容易散开呢？ 　　这是一个至今仍未得到很好解答的问题。最近，麻省理工学院的两位数学家和两位工程师共同开发了一个数学模型，他们根据绳结的交叉数量、绳结被拉紧时扭结的方向等几个关键的拓扑属性，预测出了不同绳结的机械稳定性。 　　他们发现，这些细微的参数差别在很大程度上决定了绳结是否牢固。在模型和实验中，他们利用<strong>变色纤维</strong>的不同部位在受到不同应力和压力时所呈现出的颜色差异，来研究两个几乎相同的绳结究竟哪个更牢固。过去我们只能凭经验来判断怎样的绳结最牢，而新的模型终于可以给出背后的理论原因。 　　研究人员将这一研究结果发表在了近期的《科学》杂志上。 　　1 　　2018 年，工程师<strong>Mathias Kolle</strong>和他的团队设计出了会随着应力或压力变化而改变颜色的可拉伸纤维。当拉动这样一根纤维时，它的颜色会从彩虹的一种颜色变成另一种颜色，尤其是在受到压力和应力最大的地方。 　　一直以来，绳结也是数学家所感兴趣的课题，数学中的一个分支领域——<strong>纽结理论</strong>—