命题逻辑

莱布尼兹命题9 《几何原本》公理2和亚里士多德的“相同” -逻辑与算法之十三 在莱布尼兹的片断20中，从命题9开始，对命题的证明都辅之以几何图形。无论如何抽象的几何图形，也比纯粹文字的表述更容易为人理解。在759中曾给出过片断20命题3的文字证明，本篇再给出片断20中，逻辑加交换律命题1的文字证明。然后，则仅给出有辅助图形的命题9及其证明。 这个思路是一个未曾预料到的转换，原本想一个一个命题联袂而出，命题9，10，11.﹍﹍等等。但关于“相同”的一些经典描述突然间跳入脑际，让我从莱布尼兹一下子想到了古希腊。几何原本的公理，还有亚里士多德的工具论，如同智慧精灵般，从天际之外飘落我心，落进我对莱布尼兹命题9的思绪之中。 思考莱布尼兹普遍演算中的“相同”观，把我带回到欧几里得的《几何原本》，你再从欧几里得的希腊时代回望亚里士多德。你会发现，莱布尼兹这个普遍语句演算的逻辑加，原来有它深深的古希腊之根。 命题1：若A=B，那么B=A 如果任意物和另一物相同，那么，另一物也和那个任意物相同。 证明： 1.因为A=B，（依据假设真） 2.那就可以推出，陈述A=B中的B可以用A来替换，同理，陈述A=B中的A可以用B来替换。（根据定义1，相同的定义） 所以，我们有B=A 证毕。 我们跨过有关相同和逻辑加的前8个命题证明，来看有辅助图形的命题9。片断20定义6之下，从命题5开始

命题逻辑 非，合取，析取，真值表（0，1） 合取，只有当pq均为真时才为真，可理解为串联，与 析取，只有当pq均为假时才为假，可理解为并联，或 蕴涵->,p->q 称为p与q的蕴含式，其真假的判断是一种形式逻辑，而不去考虑语义本身，具有明显局限性， 因为只要符合语法规则即可。 由此可看，数学是抽象的系统，并不一定要跟现实结合。哥德巴赫猜想，任何一个合数都能拆成两个质数之和。 然而，抽象的数学也总能找到显示对应应用，如数论与密码系统 <->等价连接词，不做赘述 命题公式： 单个命题变元/常元时命题公式，若A、B是命题公式，则非A，A合取/析取B也是命题公式，以此类推 简单命题到复合命题 优先级顺序：非，合取，析取，蕴涵，等价 按照命题公式的取值情况，分为可满足式，矛盾式，重言式（永真式） 等值式 A<=>B: A<->B是永真式 ex: P->Q <=>非PvQ 等值式（逻辑世界里的恒等式） 幂等律 交换律 结合律 分配律 德摩根律 吸收律 （借助集合论理解） 零律 同一律 （ 排中律 矛盾律 ）最后两条有争议，不适用部分情况 比如：P:我说的这句话是假的，P无法判断真假。 数学上想用反证法就必须承认排中律，部分数学家不认可排中律 对偶原理：与跟或互换，0跟1互换 双重否定律 蕴涵等值式 等价等值式 （最小依赖，只需要与非， 与或） 等价否定等值式 假言易位（逆否命题） 归谬论