矩阵乘法

矩阵 A ∈ R m × n 和 B ∈ R n × p 的乘积为矩阵 ： 其中： . 请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的行数相等，这样才存在矩阵的乘积。有很多种方式可以帮助我们理解矩阵乘法，这里我们将通过一些例子开始学习。 2.1 向量的乘积 给定两个向量x，y ∈ R n ，那么x T y的值，我们称之为向量的 内积 或 点积。它 是一个由下式得到的实数： . 可以发现，内积实际上是矩阵乘法的一个特例。通常情况下x T y = y T x。 对于向量x ∈ R m ， y ∈ R n （大小不必相同），xy T ∈ R m×n 称为向量的 外积 。外积是一个矩阵，其中中的每个元素，都可以由 得到，也就是说， . 我们举个例子说明外积有什么用。令 1 ∈ R n 表示所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵 A ∈ R m × n 的每一列都用列向量 x ∈ R m 表示。使用外积，我们可以将A简洁的表示为： . 2.2 矩阵 - 向量的乘积 对于一个矩阵 A ∈ R m × n 和向量 x ∈ R n ，他们的乘积为向量 y = Ax ∈ R m 。理解矩阵向量乘法的方式有很多种，我们一起来逐一看看。 以行的形式书写A，我们可以将其表示为Ax的形式： . 也就是说， y 第 i 行的元素等于A的第 i 行与x的内积 . 咱们换个角度，以列的形式表示A，我们可以看到： . 换言之，

数学知识 数学知识总括 微积分(高等数学) 线性代数 概率论与数理统计 凸优化 微积分 微积分学，数学中的基础分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限 微积分/高等数学。在机器学习中，微积分主要用到了微分部分，作用是求函数的极值，就是很多机器学习库中的求解器（solver）所实现的功能。在机器学习里会用到微积分中的以下知识点： 导数和偏导数的定义与计算方法 梯度向量的定义 极值定理，可导函数在极值点处导数或梯度必须为0 雅克比矩阵，这是向量到向量映射函数的偏导数构成的矩阵，在求导推导中会用到 Hessian矩阵，这是2阶导数对多元函数的推广，与函数的极值有密切的联系 凸函数的定义与判断方法 泰勒展开公式 拉格朗日乘数法，用于求解带等式约束的极值问题 其中最核心的是记住多元函数的泰勒展开公式，根据它我们可以推导出机器学习中常用的梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法等一系列最优化方法： 线性代数 线性代数的理论是计算技术的基础，同系统工程，优化理论及稳定性理论等有着密切联系，随着计算技术的发展和计算机的普及，线性代数作为理工科的一门基础课程日益受到重视。线性代数这门课程的特点是概念比较抽象，概念之间联系很密切。内容包括行列式，矩阵，向量空间，线性方程组，矩阵的相似对角化，二次型

线性相关和生成子空间 　　如果逆矩阵 A -1 存在，那么式子 A x = b 肯定对于每一个向量 b 恰好存在一个解。但是，对于方程组而言，对于向量 b 的某些值，有可能无解或者存在无限多解。存在多于一个解但是少于无限多个解的情况是不可能发生的；因为如果 x 和 y都是某方程组的解，则 z = αx + (1-α)y， (α取任意实数)也是该方程组的解。 　　形式上，一组向量的线性组合，是指每个向量乘以对应标量系数之后的和，即：∑ i x i v (i) ，一组向量的生成子空间(span)是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。 在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为 线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为 线性相关 (linearly dependent)。 　　 例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 0, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。 　　确定 A x = b 是否有解，相当于确定向量 b 是否在 A 列向量的生成子空间中。这个特殊的生成子空间被称为 A 的列空间 （column space）或者 A的值域（range）。 范数 　　范数（norm）函数可以衡量向量大小

MIT线代教程 http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.html 《转载》 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列

矩阵快速幂习题 复习矩阵乘法及快速幂模板 乘法模板 快速幂模板 T1：Arc of Dream 题目 题解 code T2：Recursive sequence 题目 题解 code T3：233 Matrix 题目 题解 code T4：Training little cats 题目 题解 code 做题的时候后悔没有保存过模板，还到处去找自己曾经写过的模板，然并卵，还是重新写了一遍，其实如果知道原理，就不用背模板了 每次复习的时候打完就觉得自己记住了，然而 复习矩阵乘法及快速幂模板 具体怎么乘的，移步 百度百科 乘法模板 struct Matrix { int n , m ; LL c [ MAXN ] [ MAXN ] ; Matrix ( ) { memset ( c , 0 , sizeof ( c ) ) ; } Matrix operator * ( const Matrix & a ) const { Matrix res ; res . n = n ; res . m = a . m ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for ( int j = 1 ; j <= a . m ; j ++ ) for ( int k = 1 ; k <= m ; k ++ ) res . c [ i ] [ j ] = ( res . c [

示例与概念 插入排序 归并排序 最坏情况分析与平均情况分析 函数增长的渐进记号 (O(n)) 表示函数增长的上界。即，花费时间不会高于线性增长。 (Theta(n)) 同时表示上界和下界。即，花费时间一定是这个线性增长的。 (Omega(n)) 表示增长的下界。 (o(n)) 表示不渐进紧确的上界。如， (2n =O(n^2)) ， (n^2=O(n^2)) ， (2n=O(n^2)) ，但 (n^2neq o(n^2)) (omega(n)) 与 (o(n)) 类似，表示不紧确的下界。 此外，常用 (T(n)) 表示所需的实际时间的函数。 分析分治算法，以归并排序为例 归并排序最坏运行时间的递归式： [ T(n)=begin{cases}Theta(1)&text{若} n=1,\ 2T(n/2)+Theta(n)&text{若} n>1. end{cases} ] 除使用主定理外，还可以这样理解递归式的值：将递归过程看做一个二叉树。递归调用中的每一层的总代价均为 (cn) ，其中 (c) 为常数。而二叉树的层数应为 (log_2n+1) 。故，整个算法的代价期望为 (Theta(nlog_2n)) 。 分治法 分治法求最大和的子数组 分解。将数组划分为两个子数组。此时，只存在三种子数组： 全部位于中点左侧的子数组 全部位于中点右侧的子数组 跨越中点的子数组 解决

一 概述 　　NumPy 是一个 Python 包。 它代表 “Numeric Python”。 它是一个由多维数组对象和用于处理数组的例程集合组成的库。Numeric，即 NumPy 的前身，是由 Jim Hugunin 开发的。 他也开发了另一个包 Numarray ，它拥有一些额外的功能。 2005年，Travis Oliphant 通过将 Numarray 的功能集成到 Numeric 包中来创建 NumPy 包。 这个开源项目有很多贡献者。 NumPy是 高性能科学计算和数据分析 的基础包。部分功能如下： ndarray, 具有矢量算术运算和复杂广播能力的快速且节省空间的多维数组。 用于对整组数据进行快速运算的标准数学函数（无需编写循环）。 用于读写磁盘数据的工具以及用于操作内存映射文件的工具。 线性代数、随机数生成以及傅里叶变换功能。 用于集成C、C++、Fortran等语言编写的代码的工具。 二 创建矩阵 　　NumPy 中定义的最重要的对象是称为 ndarray 的 N 维数组类型。 它描述相同类型的元素集合。 可以使用基于零的索引访问集合中的项目。 ndarray 中的每个元素在内存中使用相同大小的块。 ndarray 中的每个元素是数据类型对象的对象（称为 dtype ）。从 ndarray 对象提取的任何元素（通过切片）由一个数组标量类型的 Python

Python之Numpy基础 一个栗子 >>> import numpy as np >>> a = np.arange(15).reshape(3, 5) >>> a array([[ 0, 1, 2, 3, 4], [ 5, 6, 7, 8, 9], [10, 11, 12, 13, 14]]) >>> a.shape (3, 5) >>> a.ndim # 数组轴的个数，在python的世界中，轴的个数被称作秩 2 >>> a.dtype.name 'int64' >>> a.itemsize # 数组中每个元素的字节大小。 8 >>> a.size 15 >>> type(a) <type 'numpy.ndarray'> >>> b = np.array([6, 7, 8]) >>> b array([6, 7, 8]) >>> type(b) <type 'numpy.ndarray'> 创建矩阵 对于Python中的numpy模块，一般用其提供的ndarray对象。 创建一个ndarray对象很简单，只要将一个list作为参数即可。 例如: >>> import numpy as np #创建一维的narray对象 >>> a = np.array([2,3,4]) >>> a array([2, 3, 4]) >>> a.dtype dtype('int64') #

NumPy数组的维数称为秩（rank），一维数组的秩为1，二维数组的秩为2，以此类推。在NumPy中，每一个线性的数组称为是一个轴（axes），秩其实是描述轴的数量。比如说，二维数组相当于是一个一维数组，而这个一维数组中每个元素又是一个一维数组。所以这个一维数组就是NumPy中的轴（axes），而轴的数量——秩，就是数组的维数。 1、创建矩阵 Numpy库中的矩阵模块为ndarray对象，有很多属性：T，data, dtype,flags,flat,imag,real,size, itemsize,nbytes,ndim,shape,strides,ctypes,base等等。 1.1采用ndarray对象 import numpy as np #引入numpy库 #创建一维的narray对象 a = np.array([1,2,3,4,5]) #创建二维的narray对象 a2 = np.array([[1,2,3,4,5],[6,7,8,9,10]]) #创建多维对象以其类推 1.2通过函数创建矩阵 1.2.1 arange 1 import numpy as np 2 3 a = np.arange(10) # 默认从0开始到10（不包括10），步长为1 4 print(a) # 返回 [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] 5 6 a1 = np.arange(5,10

题面 代码 没什么好多讲的， \(OI\) 中基本记住定义就行了，矩阵一般也是正方形。 图片摘自百度： 矩阵快速幂（类比数的快速幂）可以优化一些递推的问题： \(0.\) 特判最小的几项？ \(1.\) 确定矩阵的大小，转移中用到了什么东西，尽可能小一些，优化常数。然后用矩阵表示出初始状态或直接是单位矩阵。 \(2.\) 构造转移矩阵，大小相同，使得两个矩阵相乘后能转移到后一个状态且不影响相对性。 \(O(npm)\) 来源： https://www.cnblogs.com/May-2nd/p/11681150.html