二分图

原题连接 : 题意 ：给一个 \(N \times M\) 棋盘 对于任何一个棋盘中的由任意四点构成的矩形，如果 其中三角存在棋子 则第四个角会自动生成一个棋子 求铺满整个棋盘 我们至少要向棋盘里加多少枚棋子 思路 ：说实话一开始很不容易去想如何去解决。存在两点，即到底所给出的棋子能最多推出哪些新的棋子，以及到底怎样最少补棋子能够使得棋盘补完。 我们可以先分析一下三个棋子形成四个棋子的关系： 已知三点 \((x_1,y_1)\) \((x_1,y_2)\) \((x_2,y_1)\) 则可以推出第三个棋子 \((x_2,y_2)\) ，我们知道两个点连接成的一条边已经固定了矩形另一条边的 \(x\) 或者 \(y\) 坐标 即选择的行列会有传递连接关系。 \((x_1,y_1)\) 即 \(x_1\) 连接 \(y_1\) ,在将 \((x_1,y_2)\) 放进去即 \(x_1\) 连接 \(y_2\) 这样 \(x_1,y_1,y_2\) 三个点就被确定了。所以如果做过以前的二分图就会更好想这个连接关系。我们把这个矩阵转换成两个图 把每行用一个下标表示，每列用一个下标表示。我们要把所有的点都表示完即是要将 行列所表示的二分图结点全部连接。我们这里可以使用并查集去合并集合，连接行列之间的关系。 code: #include <bits/stdc++.h> using

Description 神犇有一个 \(n\) 个节点的图。因为神犇是神犇，所以在T时间内一些边会出现后消失。神犇要求出每一时间段内这个图是否是二分图。这么简单的问题神犇当然会做了，于是他想考考你。 Input 输入数据的第一行是三个整数 \(n\) , \(m\) , \(T\) 。 第2行到第 \(m+1\) 行，每行 4 个整数 \(u\) , \(v\) , \(start\) , \(end\) 。第 \(i+1\) 行的四个整数表示第 \(i\) 条边连接 \(u\) , \(v\) 两个点，这条边在 \(start\) 时刻出现，在第 \(end\) 时刻消失。 Output 输出包含 \(T\) 行。在第i行中，如果第 \(i\) 时间段内这个图是二分图，那么输出 “ \(Yes\) ”，否则输出“ \(No\) ”，不含引号。 Sample Input 3 3 3 1 2 0 2 2 3 0 3 1 3 1 2 Sample Output Yes No Yes HINT 样例说明： 0时刻，出现两条边1-2和2-3。 第1时间段内，这个图是二分图，输出 \(Yes\) 。 1时刻，出现一条边1-3。 第2时间段内，这个图不是二分图，输出 \(No\) 。 2时刻，1-2和1-3两条边消失。 第3时间段内，只有一条边2-3，这个图是二分图，输出 \(Yes\) 。

Problem B graph 给出$n$个点$m$条边的连通二分图$G$ ,给出$Q$组询问，每次求出$u,v$路径上(不一定是简单路径)的权值最大值。 一条路径的权值定义为，这条边经过所有节点的异或和，同一个点经过多次将会被计算多次。 对于$100\%$的数据满足$1 \leq n,m,Q\leq t\times 10^5$ Solution : 二分图性质题。 　　对于一个图$G$是二分图，满足一定是两个集合的点来考虑。 　　我们考虑$u - v$的一条路径，如果走简单路径就是$u \ xor \ v$的权值，如果走一个来回，那么就是$0$的权值。 　　所以，对于任意两点的任意一条路径，我们都可以考虑两个相邻点权值是否被异或到路径的答案中，可以同时取反。 　　对于询问中处在相同集合的两个点，路径经过点的数目一定是奇数，选择若干个点对翻转一定会造成奇数个节点的权值被选择（一个极端的例子就是什么节点都不翻转状态） 　　由于二分图的连通性，问题就等价于求在所给点集里找出奇数个点，使他们的异或和最大。 　　在询问中处在相异集合里的两个点，路径经过点的数目一定是偶数，选择若干个点对翻转一定会造成偶数个节点的权值被选择（一个极端的例子就是什么节点都不翻转状态） 　　由于二分图的连通性，问题就等价于求在所给点集里找出偶数个点，使他们的异或和最大。 　　在所给点集里找出偶数个点

给定一个无向图 graph ，当这个图为二分图时返回 true graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i] 中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。 def isBipartite(graph) -> bool: n = len(graph) record = [0] * n def dfs(point, c): record[point] = c for i in graph[point]: # 访问为-c的点直接跳过 if record[i] == -c: continue # 染色相同则不能为二分图 elif record[i] == c: return False # 对于没访问过的点染色 elif record[i] == 0 and not dfs(i, -c): return False return True for i in range(n): # 图不是连通的 if record[i] == 0 and not dfs(i, 1): return False return True 示例 1: 输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]] 输出: true 解释: 无向图如下: 0----1 |

POJ 2195(KM算法) 转自大牛,牛人天天有,就是没有我啊 这是一个典型的最大匹配的题目，题目意思是给出一些房子和一些人，每个人到每个房子都有一个相应的代价，最后要求怎么安排这些人，房子和人一一配对，使最后的代价最小。 方法是KM算法，是一个求最大（最小)匹配的一个很强大的算法。不过这种题目还可以用费用流来做。 下面是某牛的对KM算法讲解 http://hi.baidu.com/anonympine/blog/item/3ee64954fe6f6256574e0021.html KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做 顶标 ）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X i 的顶标为A[i]，顶点Y i 的顶标为B[i]，顶点X i 与Y j 之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理： 若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做 相等子图 ）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

今天是杨思祺老师的讲授~ 图论 双连通分量 在无向图中，如果无论删去哪条边都不能使得 u 和 v 不联通， 则称 u 和 v 边双连通； 在无向图中，如果无论删去哪个点（非 u 和 v）都不能使得 u 和 v 不联通，则称 u 和 v 点双连通。 u 到 v 的路径没有必经边和必经点 。 割点：删去该点，图分裂为多个连通块。 割边：也叫 “ 桥 ”，删去该边，图分裂为多个连通块。 点双连通分量 类似地，定义 dfn u 和 low u 。 如果 v 是 u 的子结点，并且 low v ≥ dfn u 则点 u 是割点，删去 点 u 后 v 子树和其它点不连通。 每个割点属于多个点双连通分量，非割点只属于一个点双连通分量。 边双连通分量 类似地，定义 dfn u 和 low u 。 如果 v 是 u 的子结点，并且 low v > dfn u 则边 < u, v > 是割边。 每个点属于一个边双连通分量， 边双连通分量之间以割边连接。 洛谷P3469 [POI2008]BLO-Blockade 在Byteotia有 n 个城镇。 一些城镇之间由无向边连接。 在城镇外没有十字路口，尽管可能有桥，隧道或者高架公路（反正不考虑这些）。每两个城镇之间至多只有一条直接连接的道路。人们可以从任意一个城镇直接或间接到达另一个城镇。 每个城镇都有一个公民，他们被孤独所困扰。事实证明

如果不是割点，答案减少2(n-1) 如果删去割点，删去之后整个图分成多个连通块 每一个联通块的大小*其他连通块的大小之和 先求出缩点之后的树 加尽可能少的边使树变成一个边双 找出树上的所有叶子节点（度为一），然后在这些点之间连边直到所有的点度都为一 增广路的匹配边恰好比非匹配边少1 交换两种边，匹配边+1 最大流=最小割 dinic 每一次找到一条路，使得答案可以增加，更改实际流量 对于已经跑满流量的边先忽略他，从s出发bfs，标记每一个点的深度（到s的距离） 如果s到t联通，说明至少有一条增广路。 每次枚举一条出边，强制使用i+1层的边，找到一条路径，将流量更改 退流 加反向边 记录可扩充容量 首先，肯定有一种方案是每一个边对应一个点 不相交也就是说每个点只有一条入边，一条出边 每一种路径覆盖的方案对应了一种二分图匹配。每选中一个点，就有一个点不需要从自己出发 每选择一条出边，也就是在二分图中选择尽可能多的匹配 要最大化二分图选中的边数，因为这样才能减少答案（一个边两个点） 先算出每一个城镇下面能到达的城镇，建二分图，然后跑最小路径覆盖就完了 >和≥的区别 在跑最短路的时候只能跑≥，一般题目都是求整数解 那么我们只需要把边权+1就行了 建图： x=1 把等号转化成大于等于和小于等于 把严格不等号转移成非严格不等号 每个人的糖果数不小于1 建立一个超级源点

说人话： 边双联通： a到b的路径上无必经边 点双联通： a到b的路径上除了a,b没有必经点 tarjan求点双联通： 代码（补图） 割点： 桥： 求点双：强制dfs时不越过割点，即可求出一个块 求边双：dfs时不越过桥 不是割点：减少2n-1 是割点：减少sigmai的大小*其他所有子树的大小 tarjan求桥，然后缩点，会形成一棵树。把树的所有叶子连起来用的边数就是答案 判断： 当且仅当无向图上不含奇环的时候就是二分图 增广路特点：非匹配边比匹配边多一条 寻找增广路：dfs 咕咕咕~ 网络流： 最小割最大流定理：网络流的最大流就是整个图的最小割 dinic:类似匈牙利算法的思路，不断寻找当前最大流能加1的方案 直到不能再加 先dfs一遍，确定每个点到源点s的距离， 同时不断加边，维护当前流量 毒瘤操作：减少某条边的流量 所以就减反向边，边权为0，表示从终点到起点可扩充流量 二分图最大匹配怎么用网络流搞？ 在左边建一个超级源点s，在右边建一个超级汇点t s向每个左边的点建一个流量为1的边，右边的点向t建流量为1的边 二分图中间的点不停的寻找能加流量的路，能加就加，知道不能加 总之最大流就是最大匹配 二分图建图小技巧： 如果有x轴,y轴，且有一个坐标(x0,y0) 则就由x0向y0建一条边 国际象棋棋盘：黑白染色（黑的向白的建边） 就是最小覆盖qwq

这个是在工作中遇到的一个实际的算法问题，问题描述如下，当前有m个司机，n个乘客，每个司机和每个乘客的距离由经纬度可以计算得到，如何匹配可以使其去接乘客的距离和最小？（只能一个司机接一个乘客） 带权二分图方法 一般对KM算法的描述，基本上可以概括成以下几个步骤： （1） 初始化可行标杆 （2） 用匈牙利算法寻找完备匹配 （3） 若未找到完备匹配则修改可行标杆 （4） 重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配 关于该算法的流程及实施，网上有很多介绍，基本上都是围绕可行标杆如何修改而进行的讨论，至于原理并没有给出深入的探讨。 KM算法是用于寻找带权二分图最佳匹配的算法。 二分图是这样一种图：所有顶点可以分成两个集：X和Y，其中X和Y中的任意两个在同一个集中的点都不相连，而来自X集的顶点与来自Y集的顶点有连线。当这些连线被赋于一定的权重时，这样的二分图便是带权二分图。 二分图匹配是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫做二分图的匹配，而所能得到的最大的边的个数，叫做二分图的最大匹配。 我们也可以换个角度看二分图的最大匹配，即二分图的每条边的默认权重为1，我们求到的二分图的最大匹配的权重最大。对于带权二分图，其边有大于0的权重，找到一组匹配，使其权重最大，即为带权二分图的最佳匹配。 匈牙利算法一般用于寻找二分图的最大匹配