多项式时间

目录 题目要求 ex2data1.txt处理 方案一：无多项式特征 方案二：引入多项式特征 ex2data2.txt处理 两份数据 ex2data1.txt ex2data2.txt 题目要求 根据学生两门课的成绩和是否入学的数据，预测学生能否顺利入学：利用 ex2data1.txt 和 ex2data2.txt 中的数据，进行逻辑回归和预测。 数据放在最后边。 ex2data1.txt处理 作散点图可知，决策大致符合线性关系，但还是有弯曲（非线性），用线性效果并不好，因此可用两种方案：方案一，无多项式特征；方案二，有多项式特征。 方案一：无多项式特征 对ex2data1.txt中的数据进行逻辑回归，无多项式特征 代码实现如下： """ 对ex2data1.txt中的数据进行逻辑回归（无多项式特征） """ from sklearn.model_selection import train_test_split from matplotlib.colors import ListedColormap from sklearn.linear_model import LogisticRegression import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = [

问题部分 描述： 一元多项式的标准表达式可以写为 ： $f(x) = a_{ 0 } + a_{ 1 }x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n}$。现给定一个多项式的阶数$n$，并将全体系数${a_{i}}_{i = 0}^{n}$存放在数组$a[]$里。请写程序计算这个多项式在给定点$x$处的值。 代码部分 #include <stdio.h> #include <time.h> #include <math.h> clock_t start, stop; // clock_t 是 clock() 函数返回的变量类型 double duration; // 记录被测函数运行时间，以秒为单位 #define MAXN 10 // 多项式最大项数，即多项式阶数 +1 #define MAXK 1e7 // 被测函数最大重复调用次数 double f1(int n,double a[],double x){ // 计算阶数为n，系数为a[0] ... a[n]的多项式在x点的值 int i; double p = a[0]; for(i = 1; i <= n; i++){ p += (a[i] * pow(x,i)); } return p; } double f2(int n, double a[],double x){ //

目录 写在前面 多项式乘法与卷积 多项式的点值表达 FFT 写在前面 我多项式实在是太菜了，所以必须写一篇博客来巩固一下。。。 多项式乘法与卷积 对于给定的两个多项式 \[ F(x),G(x) \] 我们称 \[ S(x)=\sum_k\sum_{i+j==k}F(i)G(j) \] 为 \(F,G\) 的卷积。不难证明，这就是多项式乘法，即 \[ F(x)G(x)=\sum_k\sum_{i+j==k}F(i)G(j) \] （简单地说， \(F,G\) 的乘积中次数为 \(k\) 的项系数为 \[ \sum_{i+j==k}F(i)G(j) \] 计算 \(F,G\) 的卷积显然有 \(O(n^2)\) 的朴素思路，但是对于较高的数据范围这样的时间复杂度是无法接受的。 多项式的点值表达 除了常见的系数表达以外，多项式还可以用 点值表达 来表示。 对于已知次数为 \(n\) 的多项式 \(F(x)\) ，我们可以用 \[ X=\{(x_1,F(x_1)),(x_2,F(x_2),...,(x_{n+1},F(x_{n+1})))\} \] 来唯一确定其系数表达式。证明可以由代数基本定理推出。 多项式的点值表达相对于系数表达有一个优点：在计算卷积时时间复杂度缩减为 \(O(n)\) 。更准确地说，有 \[ S(x)=\{(x_1x_2,F(x_1)G(x_2))...\}=F(x

插值多项式的牛顿法 1.为何需要牛顿法？ ​ 使用Lagrange插值法不具备继承性。当求好经过 \(({x_0},{y_0})-({x_n},{y_n})\) 共n+1个点的插值曲线时候，如果再增加一个点，由Lagrange插值法通式 \[\sum_{k=0}^{n}\frac{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x-x_i)}{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x_k-x_n)}y_k\] 可以知道，当再增加一个点时候,Lagrange 多项式还要重新计算以确定系数。 2.牛顿插值多项式 由线性代数的知识可以知道，任何n次多项式都可以表示成1, \((x-x_0)\) ， \((x-x_0)(x-x_1)\) ， \({\ldots}\) ， \((x-x_0)(x-x_1){\ldots}(x-x_{n-2})(x-x_{n-1})\) 的线性组合形式，牛顿插值多项式正是基于这一点。 \(N_n\) (x)= \(a_0\) + \(a_1\) ( \(x-x_0\) )+ \(a_2\) ( \(x-x_0\) )( \(x-x_1\) )+ \({\ldots}\) + \(a_n(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2){\ldots}(x-x_{n-1})\) ，其中 \(a_k\) 为插值多项式的待定系数。

插值多项式的牛顿法 1.为何需要牛顿法？ ​ 使用Lagrange插值法不具备继承性。当求好经过$({x_0},{y_0})-({x_n},{y_n})$共n+1个点的插值曲线时候，如果再增加一个点，由Lagrange插值法通式$$\sum_{k=0}^{n}\frac{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x-x_i)}{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x_k-x_n)}y_k$$可以知道，当再增加一个点时候,Lagrange 多项式还要重新计算以确定系数。 2.牛顿插值多项式 由线性代数的知识可以知道，任何n次多项式都可以表示成1,$(x-x_0)$，$(x-x_0)(x-x_1)$，${\ldots}$，$(x-x_0)(x-x_1){\ldots}(x-x_{n-2})(x-x_{n-1})$ 的线性组合形式，牛顿插值多项式正是基于这一点。$N_n$(x)=$a_0$+$a_1$($x-x_0$)+$a_2$($x-x_0$)($x-x_1$)+${\ldots}$+$a_n(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2){\ldots}(x-x_{n-1})$，其中$a_k$为插值多项式的待定系数。(一下关于牛顿插值多项式系数计算是基于各x结点的等距条件) 3.牛顿向前差分公式 假设$x=x_k,$则此时$y=y_k$，这样，若$a_0,a_1,a_2

　　克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute，CMI)是在1998年由商人兰顿·克雷(Landon T. Clay)和哈佛大学数学家亚瑟·杰夫(Arthur Jaffe)创立，兰顿·克雷资助的一家非牟利私营机构，总部在麻萨诸塞州剑桥市，机构的目的在于促进和传播数学知识。克雷数学研究所给予有潜质的数学家各种奖项和资助，该 研究所在2000年5月24日公布的七个千禧年难题，它们是： 　　（1）霍奇猜想 　　（2）庞加莱猜想 　　（3）黎曼假设 　　（4）杨-米尔斯规范场存在性和质量间隔假设 　　（5）NS方程解的存在性与光滑性 　　（6）贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 　　（7）P=NP? 　　这七个问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决”。解答任何一题的第一个人将获颁予一百万美元奖金，所以这七个问题共值七百万美元。 　　近20年过去了，在这7个问题中，只有庞加莱猜想得到了解决。对于普通的程序员来说，前6个难题或许过于遥远，但是你一定听说过NP问题的大名。 水浒英雄卡的故事 　　在我读高中的时候，小浣熊干脆面中的水浒英雄卡曾经风靡一时。当时1998年央视版的《水浒传》刚开播不久，再加上课本上《鲁提辖拳打镇关西》和《林教头风雪山神庙》的助攻，同学们收集英雄卡的热情空前高涨。 　　卡片虽然精美，但是每袋干脆面只有一张英雄卡，想要收集齐全颇为不易

Topic: 关于多项式正则化问题 Description: 对历届奥运会男子自由泳100米取胜时间数据进行拟合 Environment： Win 10 + matlab 2015 Date: 2018.10.18-19 by hw_Chen (需要程序和数据集的朋友可以私聊Q：1621673079，并备注：CSDN + 程序) 1.不对数据做预处理 　　先观察数据集分布，大约在1895年时，出现了一个离群点(由于其他数据点均满足一定的线性关系，并且大致在直线附近，如图1)，同时数据集中存在部分数据的缺失，如1890年等。为了尽可能多的拟合数据点(当然这样极可能造成很大的过拟合)，暂时不对数据点做任何预处理，包括不进行舍弃离群点和对样本缺失值的补充。选择六次多项式归(虽然这并不是很符合实际，但在这里主要以多尝试不同阶次为主，作为平常练习)来对样本点进行拟合，图1由程序LineRegression.m画出，图2是采用多项式回归，分别是一元线性回归、二次多项式回归、三次多项式回归、六次多项式回归，图3是分别采用标准六次多项式回归和正则六次多项式。其中红色线为标准多项式回归，蓝色线为标准多项式回归。 　　观察图2曲线，由程序PloynomialRegression.m画出。各多项式曲线与一元线性回归曲线相比，在训练集上效果相仿，但在测试集上，一元线性回归的效果明显比多项式回归好

PATTERN RCOGNITION AND MACHINE LEARNING(PRML) Introduction 引言: ​ 从一堆数据中挖掘一些可用的数据规则是由古至今科学家一直研究的问题，它有着悠久而成功的历史。 例如，16世纪对天文的广泛观测,使约翰内斯·开普勒发现了行星运动的三大定律，从而对古典力学的发展有了一定的促进作用。同样，在20世纪,原子光谱规律的发现,对早期量子物理学的发展发挥了关键作用。在计算机中, 模式识别领域是通过计算机算法自动发现数据中的规律，并利用这些规律采取行动，如将数据分类到不同的类别. ​ 例如识别手写数字的例子，如图1.1所示。 每个数字对应一个28×28像素的图像，因此可以用包含784个实数的向量x表示。 我们的目标是建立一个机器算法，它将以这样一个向量x作为输入，并将产生数字0到 9作为输出。 这是一个非常重要的问题，因为笔迹的多样性很大。 我们可以根据手工的方式或者启发式的方案，根据笔画的形状来区分数字 ,但在实践中，这种方法会导致规则和规则例外的激增,导致结果总是不好. ​ 采用机器学习的方法可以得到更好的结果，其中一个大的集合{x1，…， xN}称为训练集，用于调整自适应模型的参数。 训练集中数字的类别是预先知道的，通常通过逐个检查并手工标记它们。 我们可以用目标向量t表示一个数字的类别，它表示对应数字的特定输出。

参考： https://www.luogu.org/blog/styx-ferryman/chu-sai-bei-kao-gan-huo-p-wen-ti-np-wen-ti-npc-wen-ti-sha-sha-fen-fou P问题 能在多项式时间内找出解的问题。。。例子很多啦 NP问题 能在多项式时间内验证解的问题 NPC问题 一个NP问题可以使所有NP问题在多项式复杂度内归约到它，那么它就是NPC问题 来源： https://www.cnblogs.com/jiecaoer/p/11512670.html

6．一种概率算法 　　缪内的结果虽然很好，但它毕竟是依赖于一个悬而未决的假设．因而在实用中，它是不能被采用的．故我们回到勒默的结果，看看从这个结果还能引伸出什么方法来． 　　勒默的结果说，若n是合数，则存在a，满足(a，n)=1使样的a至少有多少． 　　 　n是合数时，由勒默的结果定理2.12，Mn是Un的真子群，即Mn≠Un，因而Mn在Un中的指标至少是2，即(Un∶Mn)≥2．故Mn中的元素个数至多是Un中元素个数的一半，即Un中不在Mn中的元素个数至少 　　　 (modn)． 　　证明 对1到n之间的数a，若(a，n)≠1，则显然a不满足　 　 　　这个推论可以产生一种作“素性判别”的概率算法： 　　对任何输入n，从1到n之间随机地抽取k个数a1，a2，…，ak 是否成立，若有某个ai使此同余式不成立，则断言n是合数；若对a1，…，ak，同余式都成立，则断言n是素数． 　　在这个算法中，ai的选取是随机的，而且结论(断言)正确性不是完全确定的，故此算法叫概率算法．在这个概率算法中，当得到断言说输入n是合数时，由定理2.11，结论是正确的；当得到断言说输入是素数时，没有什么定理可以确保结论是正确的．也就是说，此算法在执行完毕后，可能将一个事实上是合数的输入断言为是素数了．但是，由以上定理2.15的推论，这种出错的概率是很小的．因为，若n事实上是合 　 　 乎为零(但不是零！)