动态规划

B - LIS Time Limit: 1000MS Memory Limit: 32768KB 64bit IO Format: %I64d & %I64u Submit Status Description 一组研究人员正在设计一项实验，以测试猴子的智商。他们将挂香蕉在建筑物的屋顶，同时，提供一些砖块给这些猴子。如果猴子足够聪明，它应当能够通过合理的放置一些砖块建立一个塔，并爬上去吃他们最喜欢的香蕉。 研究人员有n种类型的砖块，每种类型的砖块都有无限个。第i块砖块的长宽高分别用xi，yi，zi来表示。 同时，由于砖块是可以旋转的，每个砖块的3条边可以组成6种不同的长宽高。 在构建塔时，当且仅当A砖块的长和宽都分别小于B砖块的长和宽时，A砖块才能放到B砖块的上面，因为必须留有一些空间让猴子来踩。 你的任务是编写一个程序，计算猴子们最高可以堆出的砖块们的高度。 Input 输入文件包含多组测试数据。 每个测试用例的第一行包含一个整数n，代表不同种类的砖块数目。n<=30. 接下来n行，每行3个数，分别表示砖块的长宽高。 当n= 0的时候，无需输出任何答案，测试结束。 Output 对于每组测试数据，输出最大高度。格式：Case 第几组数据: maximum height = 最大高度 Sample Input 1 10 20 30 2 6 8 10 5 5 5 7 1 1 1 2

动态规划 杭电oj做到了最大子序列和，自己的换了好多方法都超时了，网上一查需要用到动态规划，趁此机会学习一下动态规划 但是感觉动态规划有点像这个递归哈哈哈哈 1. 动态规划 ，就是利用历史记录来避免计算的重复，而这些历史记录我们需要一些变量来保存,一般用到一维数组还有二维数组来保存 2. 三个步骤 （1） 定义数组元素的含义 ，例如你的dp【i】代表的什么含义 （2） 找出数组元素之间的关系式 ，有点类似高中所学的数学归纳法，都是通过已知元素来推未知元素 （3） 找出初始值 ，学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]， 但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，， 所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值而这，就是所谓的初始值。由了初始值，并且有了数组元素之间的关系式 ，那么我们就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含义是由你来定义的，你想求什么，就定义它是什么，这样，这道题也就解出来了。 3. 小青蛙跳台阶 问题描述，**一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶

保研之后的休闲时光 一、 题目大意 题目的大致意思如下，有一家商店举办活动，可以用一个商品的价钱购买走K件商品，需要付出的价钱是这K件商品的最大值。题目给定你具有的金钱p，商品数n和商品价格数组a，要你求解最多能买多少件商品，规定每一件商品仅能购买一次。 二、题目思路以及AC代码 这题是上一道题 Codeforce 1282 B1 的一个困难版本，说是困难，其实就是用时间把暴力的方法给卡了… 我做题就很循规蹈矩，上一道题正好是暴力解决的。 好，下面来说一下这道题的思路，其实会了暴力的方法，这道题无非就是用动态规划去去除一些暴力方法的重复运算，正好两道题对比可以看出时间效率上的显著提高，那么如何进行动态规划呢？ 考虑我们要购买第i件商品时的所有可能情况。为了方便说明，这里借用我定义的几个数组。 　rest数组：rest[i]，表示当前还剩多少钱 　dp数组：dp[i]，表示截至看到第i件商品，用所有的钱p最多可以购买多少件。 　a数组：a[i]，表示第i件商品的价钱 　 下面就是所有可能遇到的情况，当遇到第i件商品的时候，我们有两种选择： ① 用金钱a[i]购买这件商品，并且同时取走相邻小于a[i]的k件商品 ② 用金钱a[i]购买这件商品，且仅取走这件商品 这里要注意，题目要求只有这两种情况，不存在你购买商品后拿走小于k件商品。 所以当你遇到第i件商品的时候

区间 DP是指在一段区间上进行的一系列动态规划。 对于区间 DP 这一类问题，我们需要计算区间 [1,n] 的答案，通常用一个二维数组 dp 表示，其中 dp[x][y] 表示区间 [x,y]。 有些题目，dp[l][r] 由 dp[l][r−1] 与 dp[l+1][r] 推得；也有些题目，我们需要枚举区间 [l,r] 内的中间点，由两个子问题合并得到，也可以说 dp[l][r] 由 dp[l][k] 与 dp[k+1][r] 推得，其中 l≤k<r。 对于长度为 n 的区间 DP，我们可以先计算 [1,1],[2,2]…[n,n] 的答案，再计算 [1,2],[2,3]…[n−1,n]，以此类推，直到得到原问题的答案。 一道经典例题： NOI 1995 石子合并 题目描述 在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。 试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分. 输入输出格式 输入格式： 数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数. 输出格式： 输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分. 输入输出样例 输入样例#1： 4 4 5 9 4 输出样例#1： 43 54 分析 我们利用动态规划的思想

今天写内网题，连着写了两道区间dp，这里就总结一下。 区间dp思想主要是先枚举f[i][j]中的i，再枚举j，再枚举一个1~j之间的变量k，一般是f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k] + f[k][j]);(石子合并) 但是今天遇到的两个都不是这样的。 第一题，复制书稿，洛谷P1282。猜到是区间dp了，但是没写出来。后来看了一下，f[i][j]代表前i个人写到j本书，枚举k为第i个人从第k本书开始写。这样转移方程就很好想了。f[i][j] = min(f[i][j],max(f[i - 1][l],a[l - 1] + a[l] + a[l + 1] + ... + a[j]),这样复杂度有点高，所以后半部分用前缀和来维护就行了。 代码： #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int f[510][510]; int a[510],m,n,sum[510]; void print(int x, int Ans) { if(!x) return; for(int i=x; i>=0; i--) { if(sum[x] - sum[i-1] > Ans || !i) { print(i, Ans); printf("%d %d\n", i+1, x);

石子合并 现在有n块石头，多多要把这n个石头进行合并 每一次合并，多多可以把 相邻 两 个石子合并到一起，得分等于两个石头的重量之和。 可以看出，所有的石子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共的得分等于每次合并石头质量之和。 求得分最少是多少，最多是多少？ （n<=100） 样例输入#1 4 4 4 5 9 样例输出#1 4354 样例解释#1 得分最大情况： 第一步，多多先把5和9合并，得分为14,各石子数变成：4 4 14 第二步，多多先把14和4合并，得分为18，各石子变成：4 18 第三步，多多不得不把4和18合并，得分为22,，只剩下一堆石子：22 各得分和为54，可以证明分数最大为54； 得分最小情况： 第一步，多多先把4和4合并，得分为8，各石子变成：8 5 9 第二步，多多先把8和5合并，得分为13，各石子变成：13 9 第三步，多多不得不把13和9合并，得分为22,，只剩下一堆石子：22 各得分和为43，可以证明分数最小为43； 【题解】 可以知道，这道题是经典的区间dp问题；我们设dp[i][j]为i~j中操作的最大得分（以最大为例） 这里的sum[i,j]表示原数列中的i+i+1+.......+j的值，我们可以通过O(n^2)的预处理来求出sum 第0阶段：dp[1][1],dp[2][2],dp[3][3],dp[4][4]

1、动态规划与分治法的相似点：都是将待求问题分解成若干个子问题，先求解出这些子问题，然后从子问题的解得到原问题的解 不同点：适合用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题一般不是互相独立的。 2、动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中可能有许多可行解，每一个解都对应一个值，希望找到具有最优值的解。 3、动态规划算法的有效性依赖于最优子结构 和 子问题重叠 最优子结构 指的是问题的最优解 包含了 其子问题的最优解，使得程序能以自底向上的方式递推地从子问题的最优解逐步 构造出 整个问题的最优解 子问题重叠 指的是对某些子问题重复求解多次，动态规划能存储这些解。 4、解决动态规划的问题的手段： 第一：递归:先自上到底 再 自底到上 优势：正着由大规模问题推向小规模问题，容易想 劣势：但是效率低。 第二：迭代递推： 直接自底向上 优势 效率高 劣势：不好想 5、写动态规划算法，最重要的是要找到动态规划递推式 0-1背包问题，如果有n个物品，它们的重量分别为w1，w2......wn，价值分别为v1，v2....vn，现有一个负重为k的背包，要求选择物品装入背包， 使背包中物体总价值最大。 1、背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }//前者表示放入第i件物品(如果超出重量价值为0)

1、基本概念 　　动态规划是通过组合子问题的解而解决整个问题的，通过将问题分解为相互不独立（各个子问题包含有公共的子问题，也叫重叠子问题）的子问题，对每个子问题求解一次，将其结果保存到一张辅助表中，避免每次遇到各个子问题时重新计算。动态规划通常用于解决最优化问题，其设计步骤如下： （1）描述最优解的结构。 （2）递归定义最优解的值。 （3）按自底向上的方式计算最优解的值。 （4）由计算出的结果构造出一个最优解。 　　第一步是选择问题的在什么时候会出现最优解，通过分析子问题的最优解而达到整个问题的最优解。在第二步，根据第一步得到的最优解描述，将整个问题分成小问题，直到问题不可再分为止，层层选择最优，构成整个问题的最优解，给出最优解的递归公式。第三步根据第二步给的递归公式，采用自底向上的策略，计算每个问题的最优解，并将结果保存到辅助表中。第四步骤是根据第三步中的最优解，借助保存在表中的值，给出最优解的构造过程。 动态规划与分治法之间的区别： （1） 分治法是指将问题分成一些独立的子问题，递归的求解各子问题。 （2） 动态规划适用于这些子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共子问题。 2、动态规划基础 　　什么时候可以使用动态规范方法解决问题呢？这个问题需要讨论一下，书中给出了采用动态规范方法的最优化问题中的两个要素：最优子结构和重叠子结构。 1）最优子结构 　

借鉴：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741374.html 动态规划算法： 一、算法思想： 将待求解的问题分解成若干个子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得到原问题的解。 l动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 l动态规划算法的基本要素：最优子结构性质和重叠子问题。 1、l最优子结构性质： 问题的最优解包含着它的子问题的最优解 。即不管前面的策略如何，此后的决策 必须是基于当前状态 （由上一次决策产生）的最优决策。 2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解 二、特征： 1. 动态规划一般解决最值（最优，最大，最小，最长……）问题； 2. 动态规划解决的问题一般是离散的，可以分解（划分阶段）的； 3. 动态规划解决的问题必须包含最优子结构，即可以由（n－1）的最优推导出n的最优。 三、动态规划算法的4个步骤： 1. 刻画最优解的结构特性. （一维，二维，三维数组） 将（1,2,3,4,5.....i-1，i）状态的值存到数组中 2. 递归的定义最优解. （状态转移方程） 3. 以自底向上的方法来计算最优解. 4.

1. 01背包： 有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 　　 对于这类问题我们我们定义f[i][j]表示在前i个物品中选总容量为j所能得到的最大价值为多少于是我们状态转移便是这样 f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]); int f[N][M]; void work() { memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=w[i];j<=m;j++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]); for(int i=1;i<=m;i++) ans=max(f[n][i],ans); printf("%d\n",ans); } 　　这样一来，我们的时间复杂度就是O(nm),空间复杂度为O(nm)，但我们发现f[i]的值只与f[i-1]有关,此时我们可以用滚动数组来优化空间到O(m),为f[j]=max(f[j],[j-w[i]]+v[i]);此时我们的j就要倒序枚举，因为j只会从比它小的j那转移。 int f[M]; void work() { memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int