向量、矩阵几何意义

向量

点-标量scalar

描述二维、三维空间一个点的坐标。例如点a(a_x, a_y)或a(a_x, a_y, a_z)

向量-矢量(vector)

• 方向(direction)
• 模(magnitude，俗称长度)的有向线段

例如a(a_x, a_y)或a(a_x, a_y, a_z),那这与点有什么区别呢？(加粗的区别)

单位向量-归一化运算normalized vector

对a(a_x, a_y)归一化运算 =

向量运算-加法 (向量对向量)

加法可以求两向量的半角向量

设向量a = (a_x, a_y, a_z)，向量b = (b_x, b_y, b_z) ,向量c

c = a + b = (a_x, a_y, a_z) + (b_x, b_y, b_z) = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

平行四边形法则：

三角形法则：首尾相连(谁在前谁就是结果向量起始点)

向量运算-减法(向量对向量)

向量减法可以求两个向量的相对偏移距离。

例如点b相对于点a的偏移距离

谁在后谁就是结果向量起始点

c = b – a，再对c取模运算就可得到二者间的距离

向量运算-向量乘法

向量与标量乘法或除法：几何意义是对向量进行按比例缩放。例如

k · a = k · (a_x, a_y, a_z) = (ka_x, ka_y, ka_z)  -放大k倍

   -缩小k倍

向量与向量乘法：

点积

几何意义一：投影

·         点b在单位向量a方向上的投影，投影具有符号性，取决于b的方向。

·         如果a不是单位向量，那么再乘以a的长度就能得到投影值。

·         如果一个向量v在自身投影，就是v·v = v²，继而可以求出v的模

几何意义二：角度

方位判断

·         J = 90^o, b垂直于a

·         J > 90^o, b在a的后方

·         J < 90^o, b在a的前方

叉积

向量a与向量b的叉积结果向量c，c垂直于向量a与b组成的平面，可把其看作平面法线。

矩阵

行矩阵

M_1m =

列矩阵

M_1m^T = M_m1

对角矩阵

·         也是方块矩阵，行与列相同

·         除了对角线以外的元素都为0，称为方块矩阵

单位矩阵-一种特殊的对角矩阵

·         默认用 I 表示单位矩阵

·         对角线元素全为1，其余元素都为0

·         任何矩阵与单位矩阵相乘，结果任为其本身

转置矩阵

·         M_ij^T = M_ji

·         矩阵的行变为列，列变为行

·         行矩阵与列矩阵互为转置矩阵

逆矩阵

·         必须为方阵才有逆矩阵

·         M^-1·M = I          //必须满足

·         (M^-1)^-1 = M         //

·         I^-1 = I                //单位矩阵的逆矩阵=自身

·         (M^T)^-1 = (M^-1)^T   //转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵的转置

·         (A·B·C)^-1 = A^-1·B^-1·C^-1

Unity提供了相关的逆矩阵函数

正交矩阵

·         M·M^T = M^T·M = I

线性变换

·         缩放、旋转、平移

缩放： 只需要改变单位矩阵对角线元素值，(其中w分量为1）===> 目标矩阵(行矩阵)·S(q)

旋转：   ===>目标矩阵(行矩阵)·R(θ)

平移一：   ===>目标矩阵(行矩阵)·T(p)

平移二：T(p) =        ===>T(p)·目标矩阵(列矩阵)

基础变换矩阵： 

把M_3x3看作缩放旋转，t_3x1看作平移，1为w分量

将一个矩阵进行缩放、旋转、平移的复合变换先后顺序不一样，其结果也不一样。绝大多数情况下都是采用前述顺序。

矩阵的几何意义

为了进一步研究多元方程组，将多元方程组的系数组合在一个矩形数表，形成了矩阵。

例如把三元方程组转化为三阶矩阵

例如，已知子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示x_c, y_c, z_c，以及其原点位置O_c。当给定一个子坐标空间中的一点A_c = (a , b ,c),按照下面4个步骤求出A_c在父坐标空间下的位置。

1从坐标空间原点开始O_c

2向x轴方向移动x个单位：O_c + ax_c

3向y轴方向移动y个单位：O_c + ax_c + by_c

4向z轴方向移动z个单位：O_c + ax_c + by_{c +} cz_c

A_p = O_c + ax_c +by_c + cz_c

= (x_oc, y_oc ,z_oc) + a(x_xc, y_xc, z_xc) + b(x_yc , y_yc, z_yc) + c(x_zc, y_zc, z_zc)

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc, 1) +  

=   

=  

=  

M_A->p =

 

透视投影矩阵：

近裁剪面高度：

远裁剪面高度：

摄像机的ViewPortRect中的W和H属性决定着Game视图横纵比

计算某一点是否在裁剪区域内，只需将该点与，由观察空间变换到裁剪空间。

          =

注意此时的W分量，可能<0为负数。如果一个点在视锥体内，必须满足

正交投影矩阵

 

近裁剪面高度：

远裁剪面高度：

横纵比：

那么将顶点带入该矩阵相乘：

                     =

判断条件如下

 

法线变换

来源：https://www.cnblogs.com/baolong-chen/p/11639158.html