1. 扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法用于求解这样一个问题：给定两个非零整数 \(a\) 和 \(b\) ，求一组整数解 \((x,y)\) 使得 \(ax+by = gcd(a,b)\) 成立。
易知：
\[
ax+by = gcd(a,b) = gcd(b,a\%b) = ... = gcd(a',0) = a' \\
a'x+0y = gcd(a',0) = a' => x=1
\]
下面说明求解过程。
\[
\begin{aligned}
gcd(a,b) &= gcd(a,a\%b) \\
ax+by &= gcd(a,b)
\end{aligned}
\]
所以设：
\[
\begin{aligned}
ax_1+by_1 &= gcd(a,b) \\
bx_2+(a\%b)y_2 &= gcd(b,a\%b)
\end{aligned}
\]
因此有：
\[
bx_2+(a\%b)y_2 = ax_1+by_1
\]
又因为（/表示整除）：
\[
a\%b = a - (a/b)*b
\]
所以：
\[
\begin{aligned}
bx_2+(a - (a/b)*b)y_2 &= ax_1+by_1 \\
ay_2+b(x_2 - (a/b)y_2) &= ax_1+by_1
\end{aligned}
\]
所以：
\[
\begin{aligned}
x_1 &= y_2 \\
y_1 &= x_2 - (a/b)y_2
\end{aligned}
\]
重复进行以上步骤，到达递归边界时必然可以得一组解。
回到原式 \(ax+by = gcd(a,b)\) ，可得到递归边界：
when b=0: ax = gcd(a,0) = a so: x=1, y=random
代码实现：
//solve: ax + by = gcd(a,b)
int extGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b == 0)
{
// the equation has more than one solution
// here, y can be a random val, which decide {x,y} at the last
x = 1, y = (int)random() % 10;
return a;
}
int gcd = extGcd(b, a % b, x, y);
int t = y;
y = x - (a / b) * y;
x = t;
return gcd;
}
下面继续探讨如何得出 ax+by=gcd(a,b) 的所有解。
先说结论：
\[
x' = x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}K \\
y' = y_0 - \frac{a}{gcd(a,b)}K
\]
下面看求解过程。
设新的解为 \(x_0+s_1\) 和 \(y_0 - s_2\) :
\[
\begin{aligned}
a(x_0+s_1)+b(y_0-s_2) &= ax_0 + by_0 \\
as_1-bs_2 &= 0 \\
\frac{s_1}{s_2} &= \frac{b}{a} = \frac{b/gcd(a,b)}{a/gcd(a,b)}
\end{aligned}
\]
显然，\(\frac{b}{gcd(a,b)}\) 和 \(\frac{a}{gcd(a,b)}\) 是互质的（没有大于 1 的公约数）。
所以取：：
\[
s_1 = \frac{b}{gcd(a,b)}*K \\
s_2 = \frac{a}{gcd(a,b)}*K
\]
其中，\(K\) 是任意的整数。
那么问题又来了，方程中的 \(x\) 的最小非负整数解是什么呢？
从通解式 \(x' = x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}K\) 上看，应当是 \(x' \% \frac{b}{gcd(a,b)} = x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)}\) 。
但是由于在递归边界时，\(y\) 可以取任意值，所得的特解 \(x_0\) 可能为负，不能保证 \(x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)}\) 是非负的。
如果 \(x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)}\) 是负数，那么其取值范围是：
\[
(-\frac{b}{gcd(a,b)},0)
\]
所以，\(x\) 的最小非负整数解为：
\[
\begin{aligned}
x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)} + \frac{b}{gcd(a,b)} \quad &if \quad x_0<0 \\
x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)} \quad &if \quad x_0 ≥ 0
\end{aligned}
\]
综合一下，也就是：
\[
(x_0 \% \frac{b}{gcd(a,b)} + \frac{b}{gcd(a,b)}) \% \frac{b}{gcd(a,b)}
\]
2. ax+by=c求解
\(ax+by=c\) 有解的充要条件是 \(c \% gcd(a,b) == 0\) 。
如果 \(ax+by=gcd(a,b)\) 有一组解为：\((x_0,y_0)\)，即：
\[
ax_0+by_0=gcd(a,b)
\]
两边同乘以 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\)：
\[
a\frac{cx_0}{gcd(a,b)} + b\frac{cy_0}{gcd(a,b)} = c
\]
所以：
\[
(\frac{cx_0}{gcd(a,b)},\frac{cy_0}{gcd(a,b)})
\]
是方程 \(ax+by=c\) 的一个特解。
同理可得：
\[
\begin{aligned}
& a(x'+s_1)+b(y'-s_2) = c \\
& ax'+by'= c \\
& \frac{s_1}{s_2} = \frac{b}{a} = \frac{b/gcd(a,b)}{a/gcd(a,b)}
\end{aligned}
\]
所以，通解为：
\[
x = \frac{cx_0}{gcd(a,b)} + b/gcd(a,b)*K \\
y = \frac{cy_0}{gcd(a,b)} - a/gcd(a,b)*K
\]
3. 同余式 ax ≡ c (MOD m) 求解
首先解释何为「同余式」，给定整数 \(a\) 和 \(b\) ，如果说二者「模 \(m\) 同余」，即满足：\(a\%m == b\%m\)，
（或者是满足 \((a-b)\%m==0\) ）。
显然，每个整数各自与 \([0,m)\) 内的唯一整数满足同余关系。
现在需要求解的问题是：同余式 \(ax = c \quad (MOD \quad m)\) 的解。
由同余式的定义，可得：
\[
(ax-c)\%m=0
\]
那么我们设：
\[
\begin{aligned}
ax-c &= my \\
ax - my &= c
\end{aligned}
\]
令 \(y = -y\)，可得：
\[
ax+my=c
\]
使用上面第二小节的结论可得：
1. 如果 \(c \% gcd(a,m) \neq 0\) ，则同余式 \(ax=c(MOD\quad m)\) 无解。
2. 如果 \(c\%gcd(a,m)=0\)，那么设 \(ax_0+my_0 = gcd(a,m)\) ，则有：
\[
\begin{aligned}
x &= \frac{cx_0 + m*K}{gcd(a,m)},\quad K = 0,1,..., gcd(a,m)-1
\end{aligned}
\]
4. 逆元求解以及 (b/a)%m 计算
本文的最后一个问题：设 \(a,m\) 是整数，求 \(a\) 模 \(m\) 的逆元。
首先解释一下，何为「模 \(m\) 的逆元」：如果 \(a,b\) 满足：\(a*b = 1(MOD \quad m)\)，那么我们就说 \(a,b\) 互为模 \(m\) 的逆元。
易知，逆元还有以下等价定义：
\[
\begin{aligned}
(a*b-1)\%m &= 0 \\
a*b\%m &= 1 \\
a &= \frac{1}{b} (MOD \quad m) \\
b &= \frac{1}{a} (MOD \quad m)
\end{aligned}
\]
那逆元到底有什么用呢？当我们计算 \((a*b)\%m\) 时，编程实现时为了防止溢出会计算其等价式：\(((a\%m)*(b\%m))\%m\) 。但是计算 \((b/a)\%m\) 时，该编程方法就无能为力了。
如果可以找到 \(a\) 模 \(m\) 的逆元 \(x\)，即：\(a*x=1(MOD \quad m)\)，那么：
\[
(b/a)\%m = (b*x)\%m
\]
要求解 \(x\)，实质上就是求解：
\[
ax=1(MOD\quad m)
\]
根据第三小节的结论：
1. 如果 \(1\%gcd(a,m)\neq0\) ，即 \(gcd(a,m)\neq1\)，即 \(a,m\) 互质，无解。
2. 如果 \(gcd(a,m)=1\)，那么 \(ax \equiv 1(MOD \quad m)\) 在 (0,m) 上有唯一解：
求解 \(ax \equiv 1(MOD \quad m)\)，实质上是：
\[
\begin{aligned}
ax - 1 = my \quad &\Rightarrow \quad ax+my=1=gcd(a,m) \\
\end{aligned}
\]
使用第一小节的扩展欧几里得算法，可得 \(x_0\) ，最后最小非负数解就是逆元：
\[
a^{-1} = (x_0\%m+m)\%m
\]
cpp代码：
int inverse(int a, int m)
{
int x, y;
int gcd = extGcd(a, m, x, y);
return (x % m + m) % m;
}
5. 费马小定理
费马小定理：
设 \(m\) 是素数 ，且 \(a\%m \neq 0\)，那么 \(a^{m-2} \equiv 1(MOD \quad m)\) 。
显然 \(a*a^{m-2} \equiv 1 (MOD \quad m)\)，\(a^{m-2}\) 就是 \(a\) 模 \(m\) 的逆元，可使用快速幂求解。