先粘上我入门时看的博客（下面部分摘自该博客）：
https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html
下面是我粘上以供自己复习的点：
树状数组的优点和缺点
修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。
缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。
下面是树状数组的结构：
黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有
- C[1] = A[1];
- C[2] = A[1] + A[2];
- C[3] = A[3];
- C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
- C[5] = A[5];
- C[6] = A[5] + A[6];
- C[7] = A[7];
- C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
可以发现，这颗树是有规律的
C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i]; //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
如果我们要找前7项和，那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];
而根据上面的式子，容易的出SUMi = C[i] + C[i-2k1] + C[(i - 2k1) - 2k2] + .....；
其实树状数组就是一个二进制上面的应用。
现在新的问题来了2^k该怎么求呢，不难得出2^k = i&(i^(i-1));但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2^k = i&(-i);
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
而且这个有一个专门的称呼，叫做lowbit，即取2^k。
如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有
A[i] 包含于 C[i + 2k1]、C[(i + 2k1) + 2k2]...；
例题：https://vjudge.net/problem/HDU-1166
板子：
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 int n,m;
5 int a[50005],c[50005]; //对应原数组和树状数组
6
7 int lowbit(int x){
8 return x&(-x);
9 }
10
11 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
12 while(i <= n){
13 c[i] += k;
14 i += lowbit(i);
15 }
16 }
17
18 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和
19 int res = 0;
20 while(i > 0){
21 res += c[i];
22 i -= lowbit(i);
23 }
24 return res;
25 }
26
27 int main(){
28 int t;
29 cin>>t;
30 for(int tot = 1; tot <= t; tot++){
31 cout << "Case " << tot << ":" << endl;
32 memset(a, 0, sizeof a);
33 memset(c, 0, sizeof c);
34 cin>>n;
35 for(int i = 1; i <= n; i++){
36 cin>>a[i];
37 updata(i,a[i]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
38 }
39
40 string s;
41 int x,y;
42 while(cin>>s && s[0] != 'E'){
43 cin>>x>>y;
44 if(s[0] == 'Q'){ //求和操作
45 int sum = getsum(y) - getsum(x-1); //x-y区间和也就等于1-y区间和减去1-(x-1)区间和
46 cout << sum << endl;
47 }
48 else if(s[0] == 'A'){
49 updata(x,y);
50 }
51 else if(s[0] == 'S'){
52 updata(x,-y); //减去操作，即为加上相反数
53 }
54 }
55
56 }
57 return 0;
58 }
1.单点更新、单点查询
传统数组可做
2.单点更新、区间查询
已讲解，详细看上面
3.区间更新、单点查询
这就是第一个问题，如果题目是让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k，然后查询操作是问某个点的值，这种时候该怎么做呢。如果是像上面的树状数组来说，就必须把x-y区间内每个值都更新，这样的复杂度肯定是不行的，这个时候，就不能再用数据的值建树了，这里我们引入差分，利用差分建树。
假设我们规定A[0] = 0;
则有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i项的差值和，这个有什么用呢？例如对于下面这个数组
- A[] = 1 2 3 5 6 9
- D[] = 1 1 1 2 1 3
如果我们把[2,5]区间内值加上2，则变成了
- A[] = 1 4 5 7 8 9
- D[] = 1 3 1 2 1 1
发现了没有，当某个区间[x,y]值改变了，区间内的差值是不变的，只有D[x]和D[y+1]的值发生改变，至于为什么我想我就不用解释了吧。
所以我们就可以利用这个性质对D[]数组建立树状数组，代码为：
1 int n,m;
2 int a[50005] = {0},c[50005]; //对应原数组和树状数组
3
4 int lowbit(int x){
5 return x&(-x);
6 }
7
8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
9 while(i <= n){
10 c[i] += k;
11 i += lowbit(i);
12 }
13 }
14
15 int getsum(int i){ //求D[1 - i]的和，即A[i]值
16 int res = 0;
17 while(i > 0){
18 res += c[i];
19 i -= lowbit(i);
20 }
21 return res;
22 }
23
24 int main(){
25 cin>>n;27 for(int i = 1; i <= n; i++){
26 cin>>a[i];
27 updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
28 }
29
30 //[x,y]区间内加上k
31 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k
32 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k
33
34 //查询i位置的值
35 int sum = getsum(i);
36
37 return 0;
38 }
这样就把，原来要更新一个区间的值变成了只需要更新两个点。
4.区间更新、区间查询
上面我们说的差分建树状数组，得到的是某个点的值，那如果我既要区间更新，又要区间查询怎么办。这里我们还是利用差分，由上面可知
∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];
则A[1]+A[2]+...+A[n]
= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])
= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]
= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])
所以上式可以变为∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] - ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );
如果你理解前面的都比较轻松的话，这里也就知道要干嘛了，维护两个数状数组，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);
1 int n,m;
2 int a[50005] = {0};
3 int sum1[50005]; //(D[1] + D[2] + ... + D[n])
4 int sum2[50005]; //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])
5
6 int lowbit(int x){
7 return x&(-x);
8 }
9
10 void updata(int i,int k){
11 int x = i; //因为x不变，所以得先保存i值
12 while(i <= n){
13 sum1[i] += k;
14 sum2[i] += k * (x-1);
15 i += lowbit(i);
16 }
17 }
18
19 int getsum(int i){ //求前缀和
20 int res = 0, x = i;
21 while(i > 0){
22 res += x * sum1[i] - sum2[i];
23 i -= lowbit(i);
24 }
25 return res;
26 }
27
28 int main(){
29 cin>>n;
30 for(int i = 1; i <= n; i++){
31 cin>>a[i];
32 updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
33 }
34
35 //[x,y]区间内加上k
36 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k
37 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k
38
39 //求[x,y]区间和
40 int sum = getsum(y) - getsum(x-1);
41
42 return 0;
43 }
下面是练习集（待更新）：