线性代数笔记
关于矩阵理解
reference：
矩阵理解
图片来源：b站上的教程
线性变换
- 所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁
- 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。 换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系就是相似：
A=P−1BP
那么重新来理解一下 $ Ma=b $ 等价于 Ma=Ib ，意思是说***在M坐标系里表示出来的向量a，跟在I坐标系里表示出来的向量b，其实根本就是一个向量！***
矩阵和向量的相乘，就是一个线性变换。假设 i^=[10],j^=[01]
是最开始的基向量，假设经过旋转变换，那么 i′=[01],j′=[−10]
I=[i^j^]=[1001],M=[i′j′]=[01−10],a=[11],b=[−11]
Ma=[01−10][11]=[−11]=I[−11]=Ib
那么其实仔细看就能发现，对于 M 矩阵，每一列相当于一个新坐标系下的基向量（M基向量 i′,j′ ），只是这个M基向量，还是用到了原来的基向量 i^,j^ 来表示:
MaM=[xM1xM2yM1yM2][xMyM]=[xM1⋅xM+yM1⋅yMxM2⋅xM+yM2⋅yM]
那么理解两个矩阵相乘，则可以理解为两个线性变换的相互作用：
MN=[xMyM][xNyN]=[xM1xM2yM1yM2][xN1xN2yN1yN2]=[xM1⋅xN1+yM1⋅xN2xM2⋅xN1+yM2⋅xN2xM1⋅yN1+yM1⋅yN2xM2⋅yN1+yM2⋅yN2]
行列式
行列式的另一种理解，是线性变换后，对面积产生改变的比例，当行列式为0的时候，说明整个空间被挤压到更低维的空间中去了。行列式的负值代表整个线性变换发生了翻转。
那么用一句话解释 $ det(M_1M_2)=det(M_1)det(M_2)$ :用线性变换来解释啦
关于计算行列式等：高斯消元法 行阶梯型
点积
点积的整个过程就像是从二维空间，压缩到一维空间。两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换。
图片左上角的变换矩阵 $ \left[\begin{array}{c} 1&-2\end{array}\right]$ 的每一列都是变换后基向量的位置，是由[1001] 线性变换 而来，但是因为这个线性变换压缩了维度，所以不是 2×2 的矩阵，但是，实际上，[100−2] 和向量 $ \left[\begin{array}{c} 4\3\end{array}\right]$ 相乘也是一样的。
总的来说，$ \left[\begin{array}{c} 1&-2\end{array}\right]$是一个简化了的线性变换矩阵。
[1−2][43]=[100−2][43]
与单位向量的点积：
投影到单位向量所在直线的投影值：
一个向量的对偶是由它定义的线性变换
一个多维空间到一维空间的线性变换 <=> 是多维空间中某个特定向量
是什么意思呢，当找到一个空间到数轴的线性变换的时候，（也就是这是一个矩阵和向量的相乘的时候，都能在原来空间中找到一个对应的向量），最后这张图中，向量 [23] 就是变换矩阵 [23] 的对偶向量
