极大似然估计(Maximum Likelihood Method)案例
1. 问题描述
假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？
2. 问题分析
给出答案：白球所占比例\(\frac{70}{100}=70%\)。而其后的理论支撑是什么呢？
我们假设罐中白球的比例是\(p\)，那么黑球的比例就是\(1-p\)。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的，三十次为黑球事件的概率是\(P(SamplingResult \mid Model)\)。
如果第一次抽象的结果记为\(x_1\)，第二次抽样的结果记为\(x_2\)，重复下去。那么样本结果为\(x_1, x_2, \cdots, x_{100}\)。这样，我们可以得到如下表达式：
\[P(SamplingResult \mid Model)=P(x_1, x_2, \cdots, x_{100} \mid Model)=P(x_1\mid Model)\times P(x_2\mid Model)\times \cdots \times P(x_{100}\mid Model)=p^{70}(1-p)^{30}\]
好的，我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的\(p\)。
那么我们怎么来求这个\(p\)呢？
不同的\(p\)，直接导致\(P(SamplingResult \mid Model)\)的不同。
好的，我们的\(p\)实际上是有无数多种分布的。
- 当\(p=0.5\)，\(0.5^{70}*(1-0.5)^{30}=7.8\times 10^{-31}\)
- 当\(p=0.7\)，\(0.7^{70}*(1-0.7)^{30}=2.95\times 10^{-27}\)
那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？
答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得\(p^70(1-p)^30\)值最大，那么我们就可以看成是\(p\)的方程，求导即可！
那么既然事情已经发生了，为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢？这也就是最大似然估计的核心。
我们想办法让观察样本出现的概率最大，转换为数学问题就是使得：
\(p^70(1-p)^30\)最大，这太简单了，未知数只有一个\(p\)，我们令其导数为\(0\)，即可求出\(p\)为70%，与我们一开始认为的70%是一致的。其中蕴含着我们的数学思想在里面。
2. 问题描述
假设我们要统计全国人民的年均收入，首先假设这个收入服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的收入。我们国家有10几亿人口呢？那么岂不是没有办法了？
不不不，有了极大似然估计之后，我们可以采用嘛！我们比如选取一个城市，或者一个乡镇的人口收入，作为我们的观察样本结果。然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的参数。
有了参数的结果后，我们就可以知道该正态分布的期望和方差了。也就是我们通过了一个小样本的采样，反过来知道了全国人民年收入的一系列重要的数学指标量！
那么我们就知道了极大似然估计的核心关键就是对于一些情况，样本太多，无法得出分布的参数值，可以采样小样本后，利用极大似然估计获取假设中分布的参数值。