[离散时间信号处理学习笔记] 11. 连续时间信号的采样与重构

夙愿已清 提交于 2021-02-17 02:03:00

这一节主要讨论采样定理,在《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中有进行过推导与讲解,因此下面的内容也大同小异。不过如果是从《离散时间信号处理》这一本书的内容开始学习到这一节,则应先学习本文内容所需要的一些前置知识:傅里叶变换(连续时间),主要用到的是脉冲函数$\delta$,以及周期脉冲函数Ш的傅里叶变换与相关性质。

比较重要的一点就是,本书采用的傅里叶变换是基于信号周期为$2\pi$的假设,而《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中的假设为1,因此本书所采用的傅里叶变换公式有必要列出:

傅里叶变换:

$\displaystyle{F(j\Omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\Omega t}dt }$

傅里叶逆变换:

$\displaystyle{f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega}$

 

此外,本文所用到的傅里叶变换卷积定理也有所不同:

$\begin{align*}
\mathcal{F}(f\cdot g) &= \frac{1}{2\pi}F*G &
\quad\mathcal{F}^{-1}(F*G) &= 2\pi f\cdot g\\
\mathcal{F}(f*g) &= F\cdot G &
\quad\mathcal{F}^{-1}(F\cdot G) &= f*g
\end{align*}$

把前面的傅里叶变换公式代入容易证明上述卷积定理。

 

周期采样

假设有连续信号$x_c(t)$,我们需要通过对该信号进行采样才能得到离散信号,即样本序列$x[n]$。连续信号与离散信号有以下关系:

$x[n] = x_c(nT),\quad –\infty<n<\infty$

其中,$T$为采样周期(sampling period),它的倒数$f_s=\frac{1}{T}$为采样频率(sampling frequency),即每秒的样本数。不过本书是用弧度/秒来表示频率,因此采样频率的是$\Omega_s = \frac{2\pi}{T}$。这两种不同的采样频率表示方法是依赖于傅里叶变换的假设,一般分为周期为$1$以及$2\pi$两种假设。

数学上是通过下面的式子来表示对连续信号的采样:

$\displaystyle{x_s(t)=x_c(t)\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)}_{sampling\ function\ s(t)=Ш_T}}$

其中的周期脉冲函数$Ш_T$就是周期为$T$的脉冲函数。利用脉冲函数$\delta$的采样性质就能采集到一个函数相应位置的值。因此可以得到

$\displaystyle{x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)\delta(t-nT)}$

sampling

需要明确的一点是:$x_s(t)$是一个连续时间函数,取样点上的是脉冲,除了取样点之外的值为0;而$x[n]$是一个离散时间序列。

 

 

奈奎斯特采样定理

为了方便阅读,下面先列出了各个符号及其含义

Symbol FT DTFT Info
$x_c(t)$ $X_c(j\Omega)$ - 连续时间信号
$x[n]$ - $X(e^{j\omega})$ 离散时间信号
$s(t)$ $S(j\Omega)$ - 周期脉冲函数、即采样函数
$x_s(t)$ $X_s(j\Omega)$ - 信号周期采样的数学表示
$\Omega_N$ - - 奈奎斯特频率,也就是带限信号的受限频率
$\Omega_s$ - - 采样频率
$T$ - - 采样周期
$h_r(t)$ $H_r(j\Omega)$ - 连续时间低通滤波器
 

周期脉冲函数$s(t) = Ш_T$的傅里叶变换仍然是一个周期脉冲函数(推导过程

$S(j\Omega) = \frac{2\pi}{T}Ш_{\frac{2\pi}{T}}$

那么根据傅里叶变换的卷积定理,可以得到$x_s(t)$的傅里叶变换如下

$\begin{align*}
X_s(j\Omega)
&= \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*S(j\Omega)\\
&= \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*\frac{2\pi}{T}Ш_{\frac{2\pi}{T}}\\
&= \frac{1}{T}X_c*Ш_{\frac{2\pi}{T}}
\end{align*}$

而脉冲函数的卷积又具有移位特性,那么$X_s(j\Omega)$就相当于无数个经过移位的$\frac{1}{T}X_c(j\Omega)$的叠加。这种叠加能分为两种情况

  • 如果原函数的傅里叶变换$X_c(j\Omega)$的频率受限于$\frac{\Omega_s}{2} = \frac{\pi}{T}\quad(\Omega_s = \frac{2\pi}{T})$,那么$X_c(\Omega)$经过移位后不会重叠。
  • 否则原函数的傅里叶变换在经过移位后会重叠,这种情况被称为混叠(alias)。

FunAndShah

Alise

如上面的四张图描述的是信号的频域。图1是一个频率受限于$(-\Omega_N, \Omega_N)$的信号,图2是一个在频域上周期为$\Omega_s$的周期脉冲函数(从时域上看,该信号的频率为$\Omega_s$),当信号与周期脉冲函数进行卷积后可以得到图3或者图4。

对于非混叠的频谱,我们能很容易地使用一个经过$T$加权(乘以$T$)的低通滤波器来得到原本的频谱,也就是说能通过该频谱还原原本的信号;不过对于混叠的频谱,采用低通滤波器得到的就不是原本的频谱,也就无法得到原本的信号了。

LowpassSampling

 

这意味着,对带限为$\Omega_N$的信号进行采样,如果希望用采样后的样本恢复成原来的信号,那么采用频率$\Omega_s$必须满足$\Omega_s\geqslant 2\Omega_N$。这就是奈奎斯特采样定理(Nyquist-Shannon Sampling Theorem)。其中$\Omega_N$被称为奈奎斯特频率(Nyquist frequency),$2\Omega_N$被称为奈奎斯特率(Nyquist rate)。

 

 

由样本重构带限信号

按照上面的讨论,如果我们按照奈奎斯特采样定理对带限信号进行采样,那么就能用所得的样本重构原带限信号。

在上一小节的最后,我们可以看到如果我们遵循奈奎斯特采样定理,则能通过低通滤波器得到原信号的频谱,有了这个频谱,我们进行傅里叶逆变换则能得到原始信号,有以下推导过程:

$\begin{align*}
x_c(t) &= \mathcal{F}^{-1}(X_s(j\Omega)H_r(j\Omega)) \qquad H_r(j\Omega)=\left\{\begin{matrix}
T, & |\Omega|\leqslant \Omega_s/2=\frac{\pi}{T}\\
0, & else
\end{matrix}\right. \\
&= x_s(t)*h_r(t)\qquad fourier\ convolution\ theorem\\
&= \left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta(t-nT)\right \}*\left\{ \frac{sin(\pi t/T)}{\pi t/T} \right\}\\
&=  \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\left\{\delta(t-nT) * \frac{sin(\pi t/T)}{\pi t/T} \right\}\qquad x[n]\ is\ sample\ value,constant \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\frac{sin[\pi (t-nT)/T]}{\pi (t-nT)/T} \qquad \delta\ shift\ property
\end{align*}$

因此,我们可以通过对采样$x[n]$进行上述运算以得到原始信号。

上面的式子可以分为两部分,一部分为采样值$x[n]$,另一部分为sinc函数,这个sinc函数就是低通滤波函数的时域模式,如下图是一个为$\frac{sin(\pi x/T)}{\pi x/T}$的sinc函数。

sinc

因此奈奎斯特采样定理也能这么理解:如果要采样的信号受限于$(-\Omega_N, \Omega_N),$在采样频率$\Omega_s$满足$\Omega_s\geqslant 2\Omega_N$的前提下,采样得到的值为$x[n]$,通过对低通滤波器对应的sinc函数进行平移以及加权(乘以$x[n]$),然后把经过调整后的sinc函数进行叠加,即可得到原来的信号。

Restruct

 

对照上面两幅图以及sinc函数的曲线,容易看出该函数在$\pm T, \pm 2T, \pm 3T \cdot\cdot\cdot$处的值都为0,而零点处的值为1,正是这个特点使得sinc函数的峰值就是采样点上的值。

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