高等代数——同时合同对角化问题

有些话、适合烂在心里 提交于 2019-11-27 18:53:23

同时合同对角化问题

Theorem:
设$A$是$n$阶正定实对称矩阵,$B$为同阶的实对称矩阵,则必存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值.

Proof:
由于$A$为正定的,则存在可逆矩阵$P$,使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵,则存在正交矩阵$Q$,使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.
令$C=PQ$,则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于
\[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\]
则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根,又$A$可逆,则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根.

利用上述Theorem证明几个例子:
Example 1:
设$A$为$n$阶正定实对称矩阵,$B$为同阶半正定实对称矩阵,则$|A+B|\geq |A|+|B|$,等号成立的充要条件是$B=O$.

Proof:
Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$半正定,故$C'BC$也为半正定的,从而$\lambda_i\geq 0$. 由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 1+\lambda_1\cdots\lambda_n=|C'AC|+|C'BC|=|C'|(|A|+|B|)|C|\]
故有$|A+B|\geq |A|+|B|$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=0$,当且仅当$B=O$.

Remark:
对上述例题可推广为:$A$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.

Example 2:
设$A,D$为方阵,$M=\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)$为正定实对称矩阵,求证:
$|M|\leq |A||D|$,且等号当且仅当$B=O$时成立.

Proof:
由于$A$可逆,对$M$进行初合同变换:
\[\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\]
故$D-B'A^{-1}B$为正定矩阵.显然有
\[\left|\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right|=|A||D-B'A^{-1}B|\]
由于$D=(D-B'A^{-1}B)+B'A^{-1}B$,又$B'A^{-1}B$为半正定矩阵.依上述Example 1知,
\[|D|\geq |D-B'A^{-1}B|+|B'A^{-1}B|\geq |D-B'A^{-1}B|\]
等号成立当且仅当$B'A^{-1}B=O$.设存在非异实矩阵$C$,使得$A^{-1}=C'C$,则$O=B'A^{-1}B=(CB)'(CB)$,取迹得$CB=O$.由于$C$ 非异,故$B=O$.从而等号成立当且仅当$B=O$.则结论得证.

Example 3:
设$A,B$均为$n$阶正定实对称矩阵,求证
\[|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}\]
等号成立的充要条件是$A=B$.

Proof:
Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定,则$C'BC$正定,从而$\lambda_i>0$.由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 2^n\sqrt{\lambda_1\cdots\lambda_n}=2^n|C'AC|^{\dfrac{1}{2}}|C'BC|^{\dfrac{1}{2}}
=|C'|(2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}})|C|\]
故有$|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=1$,当且仅当$A=B$.

Remark:
对上述例题可推广为:$A,B$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.

Example 4:
若$A,B$均为正定矩阵,且$A-B$为半正定矩阵,求证:$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.

Proof:
Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定,则$C'BC$正定,从而$\lambda_i>0$.由于
\[C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}\]
又$A-B$半正定,则$\lambda_I\leq 1$,从而$\lambda_i^{-1}\geq 1$.由于
\[C^{-1}A^{-1}(C')^{-1}=I_n,C^{-1}B^{-1}(C')^{-1}=diag\{\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1}\}\]

\[C^{-1}(B^{-1}-A^{-1})(C^{-1})'=diag\{\lambda_1^{-1}-1,\cdots,\lambda_n^{-1}-1\}\]
显然为半正定矩阵,则$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.

Example 5:
设$A,B$是$n$阶实对称矩阵,其中$A$正定且$B$与$A-B$均为半正定矩阵.求证:$|\lambda A-B|=0$的所有根全落在$[0,1]$中,且$|A|\geq |B|$.

Proof:
Theorem知,存在可逆矩阵$C$,使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\lambda_i$为矩阵$A^{-1}B$的特征值,即为$|\lambda A-B|$ 的根.由于$B$半正定,则$C'BC$半正定,从而$\lambda_i\geq 0$.由于$A-B$半正定,则$C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}$半正定,即$\lambda_1\leq 1$.故$|\lambda A-B|$的所有根$\lambda_i$全落在$[0,1]$中.又$|A^{-1}B|=\lambda_1\cdots\lambda_n\leq 1$,故$|A|\geq |B|$.

Theorem:
设$A,B$为$n$阶半正定实对称矩阵,则存在可逆实矩阵$C$,使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]

Proof:
由于$A$为半正定矩阵,则存在可逆矩阵$P$,使得$P'AP=\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)$,且$P'BP=\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)$为半正定矩阵.依二次型理论知,$r(B_{21}B_{22})=r(B_{22})$.即$B_{21}$的所有列向量均可表示为$B_{22}$列向量的线性组合,则存在实矩阵$M$,使得$B_{21}=B_{22}M$.对矩阵$P'AP,P'BP$进行合同变换:
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
B_{11}-M'B_{22}M & O\\
O & B_{22}\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)\]
由于$B_{11}-M'B_{22}M$与$B_{22}$均为半正定矩阵,则存在正交矩阵$Q_1,Q_2$,使得
\[Q_1'(B_{11}-M'B_{22}M)Q_1=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r\},
Q_2'B_{22}Q_2=diag\{\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
令$C=P\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
Q_1 & O\\
O & Q_2\end{array}\right)$,则$C$为实可逆矩阵,使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]

Corollary:
设$A,B$均为$n$阶半正定实对称矩阵,则
(1)$A+B$为正定矩阵的充要条件是存在$n$个线性无关的列向量$\overrightarrow{\alpha}_1,\cdots,\overrightarrow{\alpha}_n$,以及指标集$I\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$,使得
\[\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_j=\overrightarrow{\alpha}_i'B\overrightarrow{\alpha}_j=0(\forall i\neq j),\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_i>0(\forall i\in I),\overrightarrow{\alpha}_j'B\overrightarrow{\alpha}_j>0(\forall j\in I)\]
(2)$r(A,B)=r(A+B)$
(3)$A+B$是正定矩阵的充要条件是$r(A,B)=n$

Proof:
证明由上述Theorem是显然的.

Reference:高等代数-学习指导书(第三版)(谢启鸿)

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