线性筛法 素数判断优化

China☆狼群 提交于 2020-04-04 06:50:31

  

判断素数:

普通的就不说了 

一种更高效的做法:

结论是:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻

x≥1x1,将大于等于55的自然数表示如下: ......6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1............6x1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1......

可以看到,不在6的倍数两侧,即6x6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4...6x+2,6x+3,6x+4...由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),

所以它们一定不是素数,再除去6x6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x6x的相邻两侧。

所以,基于以上条件,我们假如要判定的数为nn,则nn必定是6x-16x1或6x+16x+1的形式,对于循环中6i-16i1,6i6i,6i+16i+1,6i+2,6i+3,6i+46i+2,6i+3,6i+4,其中如果nn能被6i6i,6i+26i+2,6i+46i+4整除,则nn至少得是一个偶数,

但是6x-16x1或6x+16x+1的形式明显是一个奇数,故不成立;另外,如果nn能被6i+36i+3整除,则n至少能被33整除,

但是6x6x能被33整除,故6x-16x1或6x+16x+1(即nn)不可能被33整除,故不成立。综上,循环中只需要考虑6i-16i1和6i+16i+1的情况,

即循环的步长可以定为66,每次判断循环变量kk和k+2k+2的情况即可,代码如下:

bool Is_prime(int n)
{
    if(n==1) return false;
    if(n==2||n==3) return true;
    if(n%6!=1&&n%6!=5) return false;
    for(register int i=5;i*i<=n;i+=6)
        if(n%i==0||n%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

复杂度为:o( sqrt(n)/3 )

 

1埃拉托斯特尼筛法(最基本方法)

思想:素数的倍数一定不是素数  复杂度:O(nloglogn)

void prime(){
    //1表示不是素数,0表示是素数 
    a[1]=1;//1不是素数 
    for(int i=2;i*i<=k;i++){//枚举到k开方 
        if(a[i]==0){ 
            for(int j=i*i;j<=k;j+=i){
                //j从i平方开始,每次加i
                a[j]=1;//这些被穷举到的都不是素数 
            }
        }
    }
}
埃拉斯特尼筛法

 

 

 

通过上述代码,我们发现此方法还可以继续优化,因为上述的方法中,每一个有多组因数可能会被筛多次,例如:3030会被2,3,52,3,5各筛一次导致计算冗余,我们可以对此方法进行改进,得到更加高效的筛法(欧拉筛)

#include<cstring>
#incldue<cmath>
const int MAXN=1000010;
bool prime[MAXN];
int Prime[MAXN];
int num=0;
void make_prime()
{
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            Prime[num++]=i;
        }
        for(int j=0;j<num&&i*Prime[j]<MAXN;j++)
        {
            prime[i*Prime[j]]=false;
            if(!(i%Prime[j]))
                break;
        }
    }
    return;
}
欧拉筛

这个方法可以保证每个和合数在N/MN/M的最小素因子时被筛出,所以时间复杂度仅为O(N)O(N)已经可以满足大部分需求,在竞赛中,这种方法也可以在极短的时间内求出关于NN的质数表。

但是这个算法的弊端在于,为了判断一个大数是否是素数必须从从头开始扫描,而且空间代价也受不了,故不能离散的判断。

 

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