大致思路：
初始时，令2是素数，假设2之后奇数全部数都是素数(偶数不考虑会快一点点)，从3开始每当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数，把这些合数都筛掉，直到最后一个奇数超出范围，剩下的都是奇数都是素数。
注：以下代码只为得到n以内的素数，所以执行后标记数组中的标记是不完整的，如函数1和2中的isPrime[4]=1显然是错的，不过这对prime数组没有影响。如果想使标记数组完整，请自行修改。
前提：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 const int MN=1e+8; 5 bool isPrime[MN];//isPrime[i]:i是否素数 6 int prime[MN/10];//prime[i]:第i个素数
1.普通筛法：
1 int makePrime1(int n)//求n以内的素数，返回得到的素数个数，下同
2 {
3 memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
4 memset(prime,0,sizeof(prime));
5 // 6 prime[1]=2;
7 int cnt=1;
8 for(long long i=3;i<=n;i+=2)
9 {
10 if(isPrime[i])
11 {
12 prime[++cnt]=i;
13 for(long long j=i*i;j<=n;j+=i)//1此处初始值 j=i*i 比 j=i+i 要快;i和j用long long，因为i*i可能超出int范围
14 isPrime[j]=0;
15 }
16 }
17 return cnt;
18 }
2.线性筛法：每个合数只筛一次
1 int makePrime2(int n)
2 {
3 memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
4 memset(prime,0,sizeof(prime));
5 //
6 prime[1]=2;
7 int cnt=1;
8 for(int i=3;i<=n;i+=2)
9 {
10 if(isPrime[i])
11 prime[++cnt]=i;
12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//关键
13 {
14 isPrime[i*prime[j]]=0;
15 if(!(i%prime[j])) //(1)
16 break;
17 }
18 }
19 return cnt;
20 }
关键for循环的作用：
1）i是素数：标记 i*prime[j]（prime[j]为比i小的素数）为合数。
2）i是合数：标记 i*prime[j]（prime[j]为比 i 的最小素数因子更小或相等的素数）为合数，因为当prime[j]从2增加到 i 的最小素数因子（即（1）成立）时接下来就break了。
3.线性筛法空间优化（1）：用每个bool/char isPrime[i]的每一位表示一个数（0，1，2......）的标记；
则从0到n数 i 在数组中的标记为 isPrime[i/8]&(1<<(i%8))。逻辑同上，只需改3处，可节省大量空间
1 int makePrime3(int n)
2 {
3 memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime)); //(1)把每一位变成1
4 memset(prime,0,sizeof(prime));
5 // 6 prime[1]=2;
7 int cnt=1;
8 for(int i=3;i<=n;i+=2)
9 {
10 if(isPrime[i/8]&(1<<(i%8))) //(2)判断i是否为素数
11 prime[++cnt]=i;
12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
13 {
14 int t=i*prime[j];
15 isPrime[t/8]&=(~(1<<(t%8))); //(3)把isPrime[t/8]的第t%8位变为0
16 if(!(i%prime[j]))
17 break;
18 }
19 }
20 return cnt;
21 }
4.线性筛法空间优化（2）：bool/char isPriem[i]中的每一位只存奇数（1,3,5,7......i，对应序号为0,1,2,3.......(i-1)/2）的标记，可使isPrime数组再节省一半空间；
则从1到n奇数 i 在数组中的标记为isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))。
1 int makePrime4(int n)
2 {
3 memset(isPrime,-1,sizeof(isPrime));
4 memset(prime,0,sizeof(prime));
5 // 6 prime[1]=2;
7 int cnt=1;
8 for(int i=3;i<=n;i+=2)
9 {
10 if(isPrime[(i-1)/2/8]&(1<<((i-1)/2%8))) //(1)将i改为(i-1)/2即可
11 prime[++cnt]=i;
12 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
13 {
14 int t=i*prime[j];
15 if(t%2) //(2)当t为奇数时才有标记可以改变，偶数直接忽略
16 isPrime[(t-1)/2/8]&=(~(1<<((t-1)/2%8))); //t改成(t-1)/2即可
17 if(!(i%prime[j]))
18 break;
19 }
20 }
21 return cnt;
22 }
注：空间优化通常会增加时间负担
附下4个函数求五千万以内的素数的运行时间：
测评代码：
1 int main()
2 {
3 clock_t s,e;
4 int n,k;
5 while(cin>>n)
6 {
7 cout<<"内的素数有个 最大为:\n" ;
8 s=clock();
9 k=makePrime4(n);
10 e=clock();
11 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl;
12 cout<<"T4="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
13 s=clock();
14 k=makePrime3(n);
15 e=clock();
16 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl;
17 cout<<"T3="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
18 s=clock();
19 k=makePrime2(n);
20 e=clock();
21 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl;
22 cout<<"T2="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
23 s=clock();
24 k=makePrime1(n);
25 e=clock();
26 cout<<k<<' '<<prime[k]<<endl;
27 cout<<"T1="<<(1000* double(e-s)/CLOCKS_PER_SEC)<<"ms"<<endl;
28
29 }
30 return 0;
31 }
来源：https://www.cnblogs.com/Fresh--air/p/6926477.html