先明确一下概念：
公钥加密私钥解密， 没问题,也可以说是 "公共密钥加密系统 "
私钥加密公钥解密,一般不这么说，应叫 "私钥签名,公钥验证 ",也可以说是“公共密钥签名系统”
再来说一下 "公共密钥签名系统 "目的:(如果晕就多看几遍，这个没搞清，后面的代码就更晕)
A欲传（信息）给B，但又怕B不确信该信息是A发的。
1．A选计算（信息）的HASH值，如用MD5方式计算,得到：[MD5（信息）]
2．然后用自已的私钥加密HASH值，得到：[私钥（MD5（信息））]
3．最后将信息与密文一起传给B：传给B：[（信息） + 私钥（MD5（信息））]
B接到 ：[（信息） + 私钥（MD5（信息））]
1．先用相同的HASH算法算出（信息）的HASH值，这里也使用MD5方式
得到： [MD5（信息）!]
2. 再用A的公钥解密 [ 私钥（MD5（信息））]
[公钥(私钥（MD5（信息））)] = [（MD5（信息）]
如能解开,证明该 [ 私钥（MD5（信息））]是A发送的
3.再比效[MD5（信息）!]与[（MD5（信息）]
如果相同,表示（信息）在传递过程中没有被他人修改过
公钥加密私钥解密， 没问题,也可以说是 "公共密钥加密系统 "
私钥加密公钥解密,一般不这么说，应叫 "私钥签名,公钥验证 ",也可以说是“公共密钥签名系统”
再来说一下 "公共密钥签名系统 "目的:(如果晕就多看几遍，这个没搞清，后面的代码就更晕)
A欲传（信息）给B，但又怕B不确信该信息是A发的。
1．A选计算（信息）的HASH值，如用MD5方式计算,得到：[MD5（信息）]
2．然后用自已的私钥加密HASH值，得到：[私钥（MD5（信息））]
3．最后将信息与密文一起传给B：传给B：[（信息） + 私钥（MD5（信息））]
B接到 ：[（信息） + 私钥（MD5（信息））]
1．先用相同的HASH算法算出（信息）的HASH值，这里也使用MD5方式
得到： [MD5（信息）!]
2. 再用A的公钥解密 [ 私钥（MD5（信息））]
[公钥(私钥（MD5（信息））)] = [（MD5（信息）]
如能解开,证明该 [ 私钥（MD5（信息））]是A发送的
3.再比效[MD5（信息）!]与[（MD5（信息）]
如果相同,表示（信息）在传递过程中没有被他人修改过
再补充一点，非对称密钥的目的是为了实现不对等的身份验证。加密算法在这里只是实现目的的一个手段。
他不适合大数据块的加密。这种方式还应该用对称密钥加密方法（如DES)
注意，我为何说这种方式不叫加密：因为A所发的（信息）至始到尾都是暴露的。
在个种模式下，任何人都可以看到（信息），也可以修改（信息）
但如果（信息）被修改了，B可以发现
所以 "公共密钥加密系统 "叫信封，如我们邮信时的信封，保证内容不被人看到
“公共密钥签名系统”叫手印，保证收到该信的人能确认发信人身份
如果要加/解密大段的数据，那么只能公钥加密，私钥解密。但是如果是做签名的话，就像wxwinter说的，用私钥加密签名，公钥验证是可以的。
来源：https://www.cnblogs.com/yecllsl/archive/2011/04/22/2025087.html