康拓展开和康拓逆展开

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中，a[i]为整数，并且X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!。这就是康托展开。 ------来自百度百科

上面这句话说了感觉一头雾水，没有任何条件只是给一个式子谁也看不懂那是什么，所以还需要来解释一下。上面的式子可以在求给定一个全排列，求在整个全排列序列中的第几个。

例如：{1,2,3}按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。如果想知道 3 2 1 在这个排列序列中数第几位这时候需要用到康拓展开了。

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康拓展开代码：

 1 //s[] 表示输入进来的那个序列， n表示总共多少个元素
 2 int cantor(int s[], int n)
 3 {
 4     
 5     int ans = 0;
 6     int tmp;
 7     
 8         for (int i = 0; i < n - 1; i++)
 9         {
10             tmp = 0;
11             //统计多少个比它小的
12             for (int j = i + 1; j < n; j++)
13                 if (s[j] < s[i])
14                     tmp++;
15             ans += tmp * fac[n - i - 1];
16         }
17     return ans;
18     
19 }

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另外为了熟悉一下这个康拓展开，还是在OJ上测试一下，题目链接http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=139

另外这个题目的AC代码

 1 #include<iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long LL;
 6 LL fac[13];
 7 const int n = 12;
 8 LL cantor(int *arr)
 9 {
10     LL ans = 0;
11     for (int i = 0; i < n - 1; i++)
12     {
13         int tmp = 0;
14         for (int j = i + 1; j < n; j++)
15             if (arr[j] < arr[i])
16                 tmp++;
17         ans += tmp * fac[n - i - 1];
18     }
19     return ans;
20 }
21 int main()
22 {
23 
24     fac[0] = fac[1] = 1;
25     for (int i = 2; i <= 12; i++)
26         fac[i] = fac[i - 1] * i;
27     char ch[13];
28     int arr[13];
29     int n;
30     cin >> n;
31     while (n--)
32     {
33         scanf("%s", ch);
34         for (int i = 0; i < 12; i++)
35             arr[i] = ch[i] - 'a' + 1;
36         cout << cantor(arr) + 1 << endl;
37     } 
38     return 0;
39 }

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　　康拓展开逆运算：还是同样的序列，给定一个数m，让求第m大的序列

　　{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，请找出第96个数：

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23，即有3个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为4；

　　用23去除3! 得到3余5，即有3个数比该数位上的数字小，理应为4，但4已在前面的高位中出现过，所以该数位的数字为5；

　　用5去除2!得到2余1，即有2个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为3；

　　用1去除1!得到1余0，即有1个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为2；

　　最后一个数只能是1；

　　所以这个数是45321

C代码

 1 //index表示给定的第几个数，结果序列保存在ans数组
 2 void cantor_reverse(int index, int n, int *ans)
 3 {
 4     index--;
 5     bool vis[10];//标记
 6     memset(vis, false, sizeof(vis));
 7     for (int i = 0; i < n; i++)
 8     {
 9         int tmp = index /fac[n - i - 1];
10         for (int j = 0; j <= tmp; j++)
11             if (vis[j])
12                 tmp++;
13         ans[i] = tmp + 1;
14         vis[tmp] = true;
15         index %= fac[n - i - 1];
16     }
17 }

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OJ题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=143

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 typedef long long LL;
 7 LL fac[13];
 8 void cantor_reverse(LL index, int *ans)
 9 {
10     index--;
11     LL tmp;
12     bool vis[13];
13     memset(vis, false, sizeof(vis));
14     for (int i = 0; i < 12; i++)
15     {
16         tmp = index / fac[12 - i - 1];
17         for (int j = 0; j <= tmp; j++)
18             if (vis[j])
19                 tmp++;
20         ans[i] = (int)tmp + 1;
21         vis[tmp] = true;
22         index %= fac[12 - i - 1];
23     }
24 }
25 int main()
26 {
27     fac[0] = fac[1] = 1;
28     for (int i = 2; i < 13; i++)
29         fac[i] = fac[i- 1] * i;
30     int n;
31     LL m;
32     cin >> n;
33     while (n--)
34     {
35         cin >> m;
36         int ans[13];
37         cantor_reverse(m, ans);
38         for (int i = 0; i < 12; i++)
39             printf("%c", ans[i] + 'a' - 1);
40         puts("");
41     }
42 
43     return 0;
44 }

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来源：https://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4348777.html

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