中国剩余定理及扩展中国剩余定理瞎讲（CRT&EXCRT）

中国剩余定理（CRT）

怎么说

我听了三遍才懂emmm

再次感谢wjh dalao倾情讲解加手写演绎

这样一个同余方程组，要求一个x

使x满足以上所有条件，其中m1——mk互素

将m1到mk累乘

构造M = m1 * m2 * ... * mk

因为m互素，所以M为m的lcm

这样易得

M / mi ≡ 0 (mod mj) (i != j)

利用exgcd求出M / mi的逆元，使得

M / mi * ti ≡ 1 (mod mi)

（不会exgcd指路这里——>同余方程，exgcd

（不会逆元指路这里——>乘法逆元

我们知道在mod m意义下，两边同乘不干扰

所以将上式两边同乘ai

ai * M / mi * ti ≡ ai (mod mi)

我们发现，这个式子的右边是原方程组的右边

那么左边就自然是x的值了

而x需要满足所有的同余方程

那么

特别的 (x % M + M) % M是最小整数解

两道模版题

luoguP3868猜数字

P1495曹冲养猪

放一段crt的核心代码

ll quickmul(ll n,ll k){
    ll ans = 0;
    while(k > 0){
        if(k & 1)
        ans = (ans + n) % M;
        n = (n + n) % M;
        k >>= 1;
    }
    return ans % M;
}//猜数字中需要用到快速乘

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a % b,x,y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
}//exgcd

int main() {
    int k;
    M = 1;
    scanf("%d",&k);
    for(int i = 1; i <= k; i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= k; i++) {
        scanf("%lld",&m[i]);
        M *= m[i];
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= k; i++)
        a[i] = (a[i] % m[i] + m[i]) % m[I];//先将a处理一下
    for(int i = 1; i <= k; i++){
        ll x,y;
        exgcd(M / m[i],m[i],x,y);//求出ti，即为x
        x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
        ans = (ans + quickmul(quickmul(M / m[i],x),a[i])) % M; //多膜
    }
    printf("%lld",(ans % M + M) % M);//多膜
    return 0;
}

扩展中国剩余定理（EXCRT）

看了一篇博客就看懂了

但是做题的话

想起来会比较难

写一下博客加深印象emmm

首先还是一个同余方程组

不过这次m1——mk啥关系没有【滑稽

我们从只有两组方程开始考虑

可以得到：

$x = a_{1} + k_{1} * m_{1}; x = a_{2} + k_{2} * m_{2}$

所以

$a_{1} + k_{1} * m_{1} = a_{2} + k_{2} * m_{2}$

$k_{2} * m_{2} - k_{1} * m_{1} = a_{1} - a_{2}$

有没有一点眼熟？

是不是很像

a * x + b * y = c

这样我们设

c = a1 - a2

这样我们需要c是gcd(m1,m2)的倍数才能求出解

如果不是倍数无解

如果是的话，就可以用exgcd求出 k2 * m2 + k1 * m1 = gcd(m1,m2)中的k1的值

c为gcd(m1,m2)的倍数

则 k1 = k1 * c / gcd(m1,m2)

题解说最好 k1 % 一下 m2怕爆long long

这样我们可以反推出来x

x = a1 - k1 * m1

可以得到通解是： $x = x_{0} + k \times l c m (m_{1}, m_{2})$

将这个方程转化一下，可以得到新的同余方程

x = x0 (mod lcm(m1,m2) )

于是我们把两个方程变成了一个

以此类推

最终可以得到结果

luoguP4777模版扩展中国剩余定理

这是一道版子题

但是它保证数据都有解

看一下代码

#include<cstdio>
#define sev en
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010

ll a[N],m[N],M;
ll ans;

ll quickmul(ll a,ll k,ll z){
    ll  res = 0;
    while(k){
        if(k & 1)
        res = (res + a) % z;
        a = (a + a) % z;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}//快速乘了一下

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll as = exgcd(b,a % b,x,y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return as;
}//exgcd

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);//这里的输入我给反过来了
    ans = a[1],M = m[1];//首先把第一组同余方程的值赋上
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        ll x,y;
        ll s = (a[i] - ans % m[i] + m[i]) % m[i];//这里相当于a1 - a2 = c
        ll gcd = exgcd(M,m[i],x,y);//求gcd
        x = quickmul(x,s / gcd,m[i]);//x为k1，k1 * c / gcd
        ans += x * M;//ans加上求出的值
        M *= m[i] / gcd;//把两个同余方程的模数合并
        ans = (ans % M + M) % M;//最小整数解
     }
    printf("%lld",(ans % M + M) % M);
    return 0;
}

需要注意的是，如果不保证数据一定有解

就把excrt的部分写在外面

返回ans再输出

中途判断 s 是否是 gcd 的倍数

不是的话直接返回-1或看题目要求

然后就没有然后啦

写完了感觉还不错emmmm（自我欣赏一下www

理解的海星，jio的最近效率蛮高的2333

来源：https://www.cnblogs.com/sevenyuanluo/p/10539609.html

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中国剩余定理