复数学习笔记1

为君一笑 提交于 2020-03-18 11:53:14

复数有毒。。。(不过貌似数学得学)

定义

在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)
容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)
令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。
记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。
 
概念
形如

 
的数称为复数,其中规定i为虚数单位,且  

 
(a,b是任意实数)
我们将复数  

 
中的实数a称为复数z的实部,记作Rez=a,实数b称为复数z的虚部,记作 Imz=b。
当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数
复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,RC的真子集。
复数集是无序集,不能建立大小顺序。

复数的模

对于复数
 

 
,它的模

 
运算法则
加法法则
 

几何意义:坐标为a,b代表a+bi,相加相当于与原点相连的矢量相加,平行四边形定则
乘法法则
 

几何意义:模长相乘
除法法则
复数除法定义:满足 

 
的复数 

 
叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,
 

开方法则
若zn=r(cosθ+isinθ),则

 
(k=0,1,2,3…n-1)
运算律
加法交换律:z1+z2=z2+z1
乘法交换律:z1×z2=z2×z1
加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法则
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z
之后循环。。。
 
分类
复数分为实数和虚数两大类.
实数又分为有理数和无理数两大类.
有理数可分为整数和分数两大类,
整数可分为正整数,负整数,0.
分数可分为正分数,负分数.
 

令$\Large{\omega_n^m}$为第m个n次根,也就是$\omega_n$的m次方,在单位圆上平分n份,此为第m个
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