tarjan算法求LCA

这一生的挚爱 提交于 2020-03-15 06:46:07

tarjan算法求LCA

LCA(Least Common Ancestors)的意思是最近公共祖先,即在一棵树中,找出两节点最近的公共祖先。

这里我们使用tarjan算法离线算法解决这个问题。

离线算法,是指首先读入所有的询问(求一次LCA叫做一次询问),然后重新组织查询处理顺序以便得到更高效的处理方法。Tarjan算法是一个常见的用于解决LCA问题的离线算法,它结合了深度优先遍历和并查集,整个算法为线性处理时间。

总思路就是每进入一个节点u的深搜,就把整个树的一部分看作以节点u为根节点的小树,再搜索其他的节点。每搜索完一个点后,如果该点和另一个已搜索完点为需要查询LCA的点,则这两点的LCA为另一个点的现在的祖先。

1.先建立两个链表,一个为树的各条边,另一个是需要查询最近公共祖先的两节点。

2.建好后,从根节点开始进行一遍深搜。

3.先把该节点u的father设为他自己(也就是只看大树的一部分,把那一部分看作是一棵树),搜索与此节点相连的所有点v,如果点v没被搜索过,则进入点v的深搜,深搜完后把点v的father设为点u。

4.深搜完一点u后,开始判断节点u与另一节点v是否满足求LCA的条件,满足则将结果存入数组中。

5.搜索完所有点,自动退出初始的第一个深搜,输出结果。

 

如上图,根据实现算法可以看出,只有当某一棵子树全部遍历处理完成后,才将该子树的根节点标记为有颜色(初始化是白色),假设程序按上面的树形结构进行遍历,首先从节点1开始,然后递归处理根为2的子树,当子树2处理完毕后,节点2, 5, 6均为红色;接着要回溯处理3子树,首先被染色的是节点7(因为节点7作为叶子不用深搜,直接处理),接着节点7就会查看所有询问(7, x)的节点对,假如存在(7, 5),因为节点5已经被染黑,所以就可以断定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5),即节点1(因为2子树处理完毕后,子树2和节点1返回了合并后的树的根1,此时树根的祖先的值就是1)。

代码实现:

 1 #include<cstdio>
 2 #define N 420000
 3 struct hehe{
 4     int next;
 5     int to;
 6     int lca;
 7 };
 8 hehe edge[N];//树的链表
 9 hehe qedge[N];//需要查询LCA的两节点的链表
10 int n,m,p,x,y;
11 int num_edge,num_qedge,head[N],qhead[N];
12 int father[N];
13 int visit[N];//判断是否被找过 
14 void add_edge(int from,int to){//建立树的链表 
15     edge[++num_edge].next=head[from];
16     edge[num_edge].to=to;
17     head[from]=num_edge;
18 }
19 void add_qedge(int from,int to){//建立需要查询LCA的两节点的链表 
20     qedge[++num_qedge].next=qhead[from];
21     qedge[num_qedge].to=to;
22     qhead[from]=num_qedge;
23 }
24 int find(int z){//找爹函数 
25     if(father[z]!=z)
26         father[z]=find(father[z]);
27     return father[z];
28 }
29 int dfs(int x){//把整棵树的一部分看作以节点x为根节点的小树 
30     father[x]=x;//由于节点x被看作是根节点,所以把x的father设为它自己 
31     visit[x]=1;//标记为已被搜索过 
32     for(int k=head[x];k;k=edge[k].next)//遍历所有与x相连的节点 
33         if(!visit[edge[k].to]){//若未被搜索 
34             dfs(edge[k].to);//以该节点为根节点搞小树 
35             father[edge[k].to]=x;//把x的孩子节点的father重新设为x 
36         }
37     for(int k=qhead[x];k;k=qedge[k].next)//搜索包含节点x的所有询问 
38         if(visit[qedge[k].to]){//如果另一节点已被搜索过 
39             qedge[k].lca=find(qedge[k].to);//把另一节点的祖先设为这两个节点的最近公共祖先 
40             if(k%2)//由于将每一组查询变为两组,所以2n-1和2n的结果是一样的 
41                 qedge[k+1].lca=qedge[k].lca;
42             else
43                 qedge[k-1].lca=qedge[k].lca;
44         }
45 }
46 int main(){
47     scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);//输入节点数,查询数和根节点 
48     for(int i=1;i<n;++i){
49         scanf("%d%d",&x,&y);//输入每条边 
50         add_edge(x,y);
51         add_edge(y,x);
52     }
53     for(int i=1;i<=m;++i){
54         scanf("%d%d",&x,&y);//输入每次查询,考虑(u,v)时若查找到u但v未被查找,所以将(u,v)(v,u)全部记录 
55         add_qedge(x,y);
56         add_qedge(y,x);
57     }
58     dfs(p);//进入以p为根节点的树的深搜 
59     for(int i=1;i<=m;i++)
60         printf("%d ",qedge[i*2].lca);//两者结果一样,只输出一组即可 
61     return 0;
62 }
View Code

 时间复杂度:O(n+m)。

离线算法。

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