一维常物性无源对流导热微分方程数值解(大概)

计算传热学第一次大作业

1 Taylor级数展开法

1.1 网格划分

Taylor级数展开发的网格划分使用外点法

1.2 离散方程表达式

$\rho u\frac{d\phi}{d x}=\Gamma \frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\tag{1}$
将$\phi$分别在$i$+1点和$i$-1点在$i$点展开
$\phi(i+1) = \phi(i)+\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{i}\delta x+\left.\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\right|_{i}\frac{\delta x^{2}}{2!}+…… \tag{2}$
$\phi(i-1) = \phi(i)-\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{i}\delta x+\left.\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\right|_{i}\frac{\delta x^{2}}{2!}+…… \tag{3}$
联立(2)、(3)式得
$\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{i}=\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i-1}}{2\delta x},o(\delta x^{2})\tag{4}$
同样的，联立(2)、(3)式得
$\left.\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\right|_{i}=\frac{\phi_{i+1}-2\phi_{i}+\phi_{i-1}}{\delta x^{2}},o(\delta x^{2})\tag{5}$
将(4)、(5)式带入(1)式
$\rho u \frac{\phi_{i+1}-\phi_{i-1}}{2\delta x}=\Gamma \frac{\phi_{i+1}-2\phi_{i}+\phi_{i-1}}{\delta x^{2}}\tag{6}$
化简得
$4\Gamma \phi_{i}=(\rho u \delta x+2\Gamma)\phi_{i-1}+(2\Gamma-\rho u \delta x)\phi_{i+1},o(\delta x^{2})\tag{7}$

2 控制容积积分法

2.1 网格划分

控制容积积分法使用内节点法划分网格

2.2 离散方程表达式

$\rho u\frac{d\phi}{d x}=\Gamma \frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\tag{8}$
将方程在空间内积分
$\int_{w}^{e}\rho u\frac{d\phi}{d x}dx=\int_{w}^{e}\Gamma \frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}dx\tag{9}$
其中
$\int_{w}^{e}\frac{d\phi}{d x}dx=\left.\phi\right|_{e}-\left.\phi\right|_{w}\tag{10}$
假设$\phi$对空间呈分段线性变化
$\left.\phi\right|_{e}-\left.\phi\right|_{w}=\frac{\phi_{E}+\phi_{P}}{2}-\frac{\phi_{P}+\phi_{W}}{2}=\frac{\phi_{E}-\phi_{W}}{2}\tag{11}$
对于扩散项
$\int_{w}^{e}\frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}dx=\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{e}-\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{w}\tag{12}$
假设$\frac{d\phi}{dx}$在空间呈分段线性变化
$\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{e}-\left.\frac{d\phi}{dx}\right|_{w}=\frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{(\delta x)_{e}}-\frac{\phi_{P}-\phi_{W}}{(\delta x)_{w}}\tag{13}$
若使用均分网格
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\Delta x}-\frac{\phi_{P}-\phi_{W}}{\Delta x}\tag{14}$
将式(11)、(14)带入(8)
$\rho u (\frac{\phi_{E}+\phi_{P}}{2}-\frac{\phi_{P}+\phi_{W}}{2})=\Gamma (\frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\Delta x}-\frac{\phi_{P}-\phi_{W}}{\Delta x})\tag{15}$
整理得
$4\Gamma \phi_{P}=(2\Gamma-\rho u \Delta x)\phi_{E}+(2\Gamma+\rho u \Delta x)\phi_{W}\tag{16}$

3. Gauss-Seidel迭代法

原问题的代数方程
$4\Gamma \phi_{i}=(\rho u \delta x+2\Gamma)\phi_{i-1}+(2\Gamma-\rho u \delta x)\phi_{i+1}$
令$\alpha = \frac{\rho u}{\Gamma}$则
$4 \phi_{i}=(\alpha\delta x+2)\phi_{i-1}+(2-\alpha \delta x)\phi_{i+1}\tag{17}$
假设有$N$个格点，则该方程得Guass-Seidel迭代格式
$\left\{ \begin{aligned} \phi_{1}^{k+1} & = &\frac{1}{4}[(\alpha\delta x+2)\phi_{0}+(2-\alpha \delta x)\phi_{2}^{k}] \\ \phi_{2}^{k+1} & = & \frac{1}{4}[(\alpha\delta x+2)\phi_{1}^{k+1}+(2-\alpha \delta x)\phi_{3}^{k}] \\ \vdots\\ \phi_{N}^{k+1} & = & \frac{1}{4}[(\alpha\delta x+2)\phi_{N-1}^{k+1}+(2-\alpha \delta x)\phi_{N+1}] \end{aligned} \right.$
写为矩阵形式：
$\begin{pmatrix} -4 & 2-\alpha \delta x & {} & {} & {} \\ 2+\alpha \delta x & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} & {} \\ {} & {} & {} & {} & 2-\alpha \delta x \\ {} & {} & {} & 2+\alpha \delta x & -4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{\phi }_{1}} \\ {{\phi }_{2}} \\ {{\phi }_{3}} \\ \vdots \\ {{\phi }_{N}} \\ \end{pmatrix} \doteq \begin{pmatrix} -(2+\alpha \delta x){{\phi }_{0}} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ -(2-\alpha \delta x){{\phi }_{N+1}} \\ \end{pmatrix}\tag{18}$
解得方程在$\alpha=(-5,-1,0,1,5)$时的曲线

4. TDMA方法

对于任意一个三对角阵
$A_{i}T_{i}=B_{i}T_{i+1}+C_{i}T_{i-1}+D_{i}\tag{19}$
我们都可以将其转化至
$T_{i-1}=P_{i-1}T_{i}+Q_{i-1}\tag{20}$
联立(19)、(20)可得
$T_{i}-C_{i}P_{i}T_{i}=B_{i}T_{i+1}+D_{i}+C_{i}Q_{i-1}\tag{21}$
整理得
$T_{i}=\frac{B_{i}}{A_{i}-C_{i}P_{i-1}}T_{i+1}+\frac{D_{i}+C_{i}Q_{i-1}}{A_{i}-C_{i}P_{i-1}}\tag{22}$
观察(20)、(22)式，可以发现
$P_{i}=\frac{B_{i}}{A_{i}-C_{i}P_{i-1}}; Q_{i}=\frac{D_{i}+C_{i}Q_{i-1}}{A_{i}-C_{i}P_{i-1}}\tag{23}$
结合代数形式(16)及矩阵形式(18)、(19)与(23)可以得到有$N$个格点的各个系数向量
$\begin{aligned} A & = & (4~~~4~~~4~~~4~~~4~~~4~~~4~~~4~~~4~~~~~\cdots~~~~4)^{T} \\ B & = & (2-\alpha \Delta x~~2-\alpha \Delta x~~2-\alpha \Delta x~~\cdots~~0)^{T} \\ C & = & (0~~2+\alpha \Delta x~~2-\alpha \Delta x~~2-\alpha \Delta x~~\cdots)^{T} \\ D & = & ((2+\Delta x)\phi_{0}~~0~~0~~\cdots~~(2-\Delta x)\phi_{N+1})^{T} \end{aligned}$

解得方程在$\alpha=(-5,-1,0,1,5)$时的曲线

5. 网格独立化考核

网格数量对数值计算结果有着重要的影响。当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对数值计算结果基本上没有影响时所得到的数值解称为网格独立解。

为了避免浪费计算资源，在精度足够高的同时，减少网格数，这里使用TDMA方法计算在不同网格划分情况下$x$=0.7处的值，进行网格独立化考核。

显然，当格点数大于80时，再增加格点数时$\phi$(0.7)的值其变化已经不明显了，故我们认为格点数达到80时，此时的解为网格独立解。

来源：CSDN

作者：qq_41640870

链接：https://blog.csdn.net/qq_41640870/article/details/104650455