第四章 随机变量的数字特征

这种由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本章将介绍几个重要的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。——概率论和数理统计浙大版

  本章主要介绍了数学期望、方差、相关系数和矩的计算。

习题四

37.对于两个随机变量$V,W$，若$E(V^2),E(W^2)$存在，证明$[E(VW)]^2\leqslant E(V^2)E(W^2).\tag{A}$这一不等式称为柯西-施瓦茨不等式。

证  若$E(V^2)=0$，则$P\{V=0\}=1$（因$E(V^2)=D(V)+(E(V))^2=0$，得$D(V)=0$且$E(V)=0$，由方差性质得$P\{V=0\}=1$）。由此$P\{VW=0\}=1$，因此，$E(VW)=0$，此时不等式$(A)$得证。同样对于$E(W^2)=0$时，不等式$(A)$也成立。以下设$E(V^2)>0,E(W^2)>0$。考虑实变量$t$的函数：
$q(t)=E[(V+tW)^2]=E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2).$
  因为对于任意$t$，$E[(V+tW)^2]\geqslant0,E(W^2)>0$，故二次三项式的判别式：
$\Delta=4[E(VW)]^2-4E(V^2)E(W^2)\leqslant0.$
  即有
$[E(VW)]^2\leqslant E(V^2)E(W^2).$

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来源：CSDN

作者：古月忻

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