【算法】莫比乌斯反演

旧城冷巷雨未停 提交于 2020-03-01 06:53:15

  在正文开始之前感谢一下几篇论文 & 博客以及一位大佬 remoon_OFN

  1. 2016国家集训队论文任之洲《积性函数求和的几种方法》

  2. PoPoQQQ 的相关题解(%%%)。

  3. 当然除此之外还有很多……

 

  其实两三个月之前我就已经接触过反演了,但在那个时候对反演完全是一种懵逼的状态。重点其实还是在于通过自己多推式子,多化式子来理解和接受卷积的这样一种运算。当然,丰富的数论知识也是必不可少的(有时候一些题目会用到一些奇奇怪怪的性质)。实际上,反演就是已知一个函数 \(g\) 与 \(f\) 的关系,要通过 \(f\) 求出 \(g\),或通过 \(g\) 求出 \(f\)。反演,可以理解为一种变换。那么,莫比乌斯反演就是一种特别的变换:

若我们有 \(f = 1 * g\)

则有 \(g = \mu * f\)

  这是一种式子的变形,当原本的式子中出现了\(f\) 或 \(g\) 的时候,可以考虑用另一个函数来替换它,从而找到一个易求得的式子。常用的卷积关系有如下几种:

\(\mu * 1 = \epsilon \)

\(\phi * 1 = id\)

\(id * \mu = \phi\)

  (以上式子中的函数均为积性函数)。注意:积性函数的卷积依然为积性函数,并且卷积满足结合律, 交换律,分配律。

  首先我们通过一道简单的题目来感受一下卷积和反演所起到的作用:题面在此:HAOI2011

  注意到\(i, j\) 都有一定的范围,但是这样的范围显然可以通过容斥来解决。所以问题转化为:如何快速求出

\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}gcd\left ( i, j \right ) = k\)

发现如果是\(i,j\)的最大公约数为\(k\),那么\(gcd\left ( \frac{i}{k} , \frac{j}{k} \right ) = 1\)。

所以我们改为枚举\(\frac{i}{k} , \frac{j}{k}\) :

\(\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}gcd\left ( i, j \right ) = 1\)

 注意到最后是一个判别式,所以是一个原函数\(\epsilon \)

联想到\(\mu * 1 = \epsilon \)

我们将式子转化为\(\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d|gcd\left ( i,j \right )}\mu \left ( d \right )\)

又因为这其中的\(d\)对于每一个是其倍数的二元组\(\left ( i,j \right )\)产生贡献

所以有\(\sum_{d = 1}^{n}\mu \left ( d \right )\left \lfloor \frac{n}{dk} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dk} \right \rfloor\)

此时我们进行数论分块,前缀和优化一下求解就可以啦。

  

  大概有一些常见的套路:

    1. 与lcm,gcd有关都可以考虑转化为 \(\mu\);

    2. 当发现 \(\mu\) 做起来比较困难(如杜教筛不出)可以尝试用容斥转化为求 \(\phi\),当枚举的上界是一个变量的时候,也可以转为求 \(\phi\),往往比较方便;

    3.当式子中出现一个仅与一个枚举的变量相关的式子,例如枚举某个数的约数,可以考虑把它表示为 \(h(i)\) ,单独预处理;例如约数函数等可以在根号内处理出来的;

    4.如果有枚举两个数再乘积,一般都要转化为枚举乘积再枚举约数;

    5.如果要求的式子中有一些比较奇怪的函数,要分析函数的性质,转化成熟悉的 \(\mu \ \phi\) 等等。

    6.构造杜教的函数可以一层一层的转化,写成卷积的式子会比较便于化式子 & 转化;

 

  以下是几道题,按照个人认为的难度大致排了一下次序,应该会陆续写出题解:

  1.HAOI2011 Problem b

  2.YY的GCD

  3.CQOI2015选数

  4.SDOI2015约数个数和

  5.Crash的数字表格 / JZPTAB

  6.bzoj3309 DYZ loves math

  7.简单的数学题(杜教筛)

  8.SDOI2014数表

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  然后还有没做的,但感觉非常神的几道题:

  1.bzoj4174 tty的求助

  2.树上的毒瘤 \ bzoj3512 DZY Loves Math IV

  3.bzoj3601一个人的数论

  祝大家食用愉快……

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  一点更新:

  1.51nod1220 约数之和

  2.51nod1222 最小公倍数之和

  3.51nod1227 平均最小公倍数

  4.51nod1238 最小公倍数之和V3

  5.51nod1584 加权约数和

  6.[SDOI2017]数字表格

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