欧拉函数、欧拉定理和费马小定理

断了今生、忘了曾经 提交于 2020-02-28 11:47:37

对于正整数n,欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目,表示为φ(n)。

性质1:对于素数p,φ(p)=p-1。

性质2:对于两个互质数p,q,φ(pq)=φ(p)*φ(q)=(p-1)(q-1)。(积性函数)(易证)

性质3:若n是质数p的k次幂,φ(n)=pk-pk-1=(p-1)pk-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

性质4:

因为:x可以分解成p1q1×p2q2×p3q3……×pnqn (pi为x的质因数)

因为piqi两两互质,所以:φ(x)=φ(p1q1)×φ(p2q2)×φ(p3q3)……×φ(pnqn) (性质2)

所以:φ(x)=(p1q1-p1q1-1)×(p2q2-p2q2-1)×(p3q3-p3q3-1)……×(pnqn-pnqn-1) (性质3)

提取x即得到公式。

性质5:n=Σφ(d|n)

yu大有个牛逼的证法,把1到n的所有数除以n,变成n个既约分数,分母d只可能是n的约数。并且,以d为分母的分数个数正好是φ(d)。因此,分数总数n=Σφ(d|n)。

欧拉定理:

对于互质的正整数a和n,有  

证明: 
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} (mod n), S = {a * x1, a * x2, … , a * xφ(n)} (mod n), 
则 Zn = S 。 
① 因为 a 与 n 互质, xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质, 所以 a * xi 与 n 互质,所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 
② 若 i ≠ j , 那么 xi ≠ xj,且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n (消去律)。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 … xφ(n) mod n 
≡ (a * x1) * (a * x2) * … * (a * xφ(n)) mod n 
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * … * (a * xφ(n) mod n) mod n 
≡ x1 * x2 * … * xφ(n) mod n 
对比等式的左右两端,因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质,所以 aφ(n) ≡ 1 mod n (消去律)。 
注: 
消去律:如果 gcd(c,p) = 1 ,则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马小定理:

ap-1 ≡ 1 (mod p)(a<p) (性质1易证)

这是本人对欧拉函数、欧拉定理和费马小定理的一点理解,如果有更好的方法或解释,欢迎在评论区评论。。

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