(数学建模)非线性规划

99封情书 提交于 2020-02-27 09:20:58
定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问 题。
非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都有自己特定的适用范围。
一般形式:





线性规划与非线性规划的区别

如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到。

极值约束问题

二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数,约束条件又全是线性的,就称 这种规划为二次规划。
Matlab 中二次规划的数学模型可表述如下:



Matlab 中求解二次规划的命令是:

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq,lb,ub,x0,options)
例: 求解二次规划

h=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

罚函数法

利用罚函数法,可将非线性规划问题的求解,转化为求解一系列无约束极值问题, 因而也称这种方法为序列无约束小化技术,简记为 SUMT . 罚函数法求解非线性规划问题的思想是,利用问题中的约束函数作出适当的罚函 数,由此构造出带参数的增广目标函数,把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式,一种叫外罚函数法,另一种叫内罚函数法,下面介绍外罚函数法。

例: 求下列非线性规划

(1)定义增广目标函数,编写 M 文件 test.m
function g=test1(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*abs(-x(1)-x(2)^2+2); 
或者是利用Matlab的求矩阵的极小值和极大值函数编写test.m如下:
function g=test2(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*sum(min([x';zeros(1,2)]))-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*abs(-x(1)-x(2)^2+2); 
也可以修改罚函数的定义,编写test.m如下
function g=test3(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(min(x),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*(-x(1)-x(2)^2+2)^2; 
(2)求增广目标函数的极小值,在 Matlab 命令窗口输入
[x,y]=fminunc('test3',rand(2,1)) 
由于是非线性问题,很难求得问题的全局最优解,因此只能求得局部最优解,并且每次运行结果都不一样
注: (1)如果非线性规划问题要求实时算法,则可以使用罚函数方法,但计算精度较低; (2)如果非线性规划问题不要求实时算法,但要求精度高,则可以使用Lingo软件编程求解或使用Matlab的fmincon命令
Matlab优化工具箱中的optimtool命令提供了优化问题的用户图形界面解法。 optimtool可应用到所有优化问题的求解,计算结果可以输出到Matlab工作空间中。

应用实例

在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均又计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一家欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机相撞。如果会相撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,为避免碰撞。先假定条件如下:
1.不碰撞的标准位任意两架飞机的距离大于8km; 2.飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 3.所有飞机飞行速度均为每小时800km 4.进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60km以上 5.最多考虑六架飞机 6.不必考虑飞机离开此区域后的情况
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过 0.01 度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域 4 个顶点的座标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据见下表。

注:方向角指飞行方向与

轴正向的夹角。为方便之后的讨论,我们引进如下记号。 $D$为飞行管理区域的边长。 $\Omega$为飞行管理区域,取直角坐标系使其为$[0, D] \times[0, D]]$为飞机飞行速度,

$\left(x_{i}^{0}, y_{i}^{0}\right)$为第$i$架飞机的初始位置。 $(x_i(t),y_i(t))$为第$i$架飞机在$t$时刻的位置 $\theta_{i}^{0}$为第$i$架飞机的原飞行方向角,即飞行方向与

轴夹角:$0 \leq \theta_{i}^{0}<2 \pi$为第$i$架飞机的方向角调整,$-\frac{\pi}{6} \leq \Delta \theta_{i} \leq \frac{\pi}{6}$ $theta_{i}=\theta_{i}^{0}+\Delta \theta_{i}$为第

架飞机调整后的飞行航向角

模型构建过程

根据相对运动的观点在考察两架飞机

的飞行时,可以将飞机

视为不动而飞机

以相对速度

相对于飞机

运动,对上式进行和差化积,不妨设

,此时相对飞行方向角为

由于两架飞机的初始距离是:

假设

为调整前

架飞机相对于第

架飞机的相对速度(矢量)与这两架飞机连线(从

指向

的矢量)的夹角(以连线矢量为基准,逆时针方向为正,顺时针方向为负)。得两架飞机不碰撞的条件为:

其中:

(注意

表达式中的

表示虚数单位)这里我们利用复数的幅角,可以很方便地计算角度

本问题中的优化目标函数可以有不同的形式:如使所有飞机的最大调整量最小;所有飞机的调整量绝对值之和最小等。这里以所有飞机的调整量绝对值之和最小为目标函数,可以得到数学规划模型。

Matlab求解

利用matlab程序计算

clc,clear
x0=[150 85 150 145 130 0];
y0=[140 85 155 50 150 0];
q=[243 236 220.5 159 230 52];
xy0=[x0; y0];
d0=dist(xy0); %求矩阵各个列向量之间的距离
d0(find(d0==0))=inf;
a0=asind(8./d0) %以度为单位的反函数
xy1=x0+i*y0
xy2=exp(i*q*pi/180)
for m=1:6
    for n=1:6
        if n~=m
            b0(m,n)=angle((xy2(n)-xy2(m))/(xy1(m)-xy1(n)));
        end
    end
end
b0=b0*180/pi;
dlmwrite('txt1.txt',a0,'delimiter', '\t','newline','PC');
fid=fopen('txt1.txt','a');
fwrite(fid,'~','char'); %往纯文本文件中写 LINGO 数据的分割符
dlmwrite('txt1.txt',b0,'delimiter', '\t','newline','PC','-append','roffset', 1)
matlab会输出一个txt文件,将这个txt文件输入Lingo软件。
model:
sets:
plane/1..6/:delta;
link(plane,plane):alpha,beta;
endsets
data:
alpha=@file('txt1.txt'); !需要在alpha的数据后面加上分隔符"~";
beta=@file('txt1.txt');
enddata
min=@sum(plane:@abs(delta));
@for(plane:@bnd(-30,delta,30));
@for(link(i,j)|i#ne#j:@abs(beta(i,j)+0.5*delta(i)+0.5*delta(j))>a
lpha(i,j));
end
求解的最优解

,其他调整角度为0.

参考文章

https://www.jianshu.com/p/06ca582e8abe https://blog.csdn.net/sunyueqinghit/article/details/81505409?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

查看原文:https://upcwsh.top/ahhhh/190/
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